Exemple.

Dans l'identité remarquable :

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

on a :

Au premier membre, un polynôme homogène à deux indéterminées ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ du second degré.

Au second membre, un produit de deux polynômes homogènes à deux indéterminées ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ du premier degré.

Exemple.

Supposons que l'on doive factoriser l'expression :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}}$

nous remarquons qu'en remplaçant ${\displaystyle b}$ par ${\displaystyle a^{2}}$, nous obtenons :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=a^{5}+a^{4}-a^{4}-a^{5}=0}$

Nous pouvons donc commencer la factorisation ainsi :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times Q}$

${\displaystyle Q}$ étant une expression algébrique à déterminer.

(nous verrons, dans la suite de cette leçon, plusieurs méthodes pour déterminer ${\displaystyle Q}$)

Exemple.

Poursuivons l'exemple du paragraphe précédent.

Nous avons vu qu'il existe une expression algébrique ${\displaystyle Q}$ vérifiant :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times Q}$

Il nous restait à déterminer ${\displaystyle Q}$.

D'après la règle 3, on doit pouvoir écrire ${\displaystyle Q}$ sous la forme :

${\displaystyle Q=a^{3}+R}$

et en reportant, on obtient :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times (a^{3}+R)}$

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle a^{3}b+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times R}$

Nous pouvons considérer que la situation s'est améliorée car nous avons maintenant au premier membre un polynôme de degré 4 (au lieu de 5).

Réappliquons la règle 3. On doit pouvoir écrire ${\displaystyle R}$ sous la forme :

${\displaystyle R=ab+L}$

et en reportant, on obtient :

${\displaystyle a^{3}b+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times (ab+L)}$

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle b^{2}-a^{2}b=(a^{2}-b)\times L}$

Où l'on voit clairement que :

${\displaystyle L=-b}$

Si l'on récapitule, on a :

${\displaystyle Q=a^{3}+R=a^{3}+ab+L=a^{3}+ab-b}$

En reportant dans :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)\times Q}$

nous pouvons conclure que :

${\displaystyle a^{5}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}=(a^{2}-b)(a^{3}+ab-b)}$

Exemple.

Supposons que l'on doivent déterminer un polynôme ${\displaystyle Q}$ tel que :

${\displaystyle 2a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=(a+b-c)\times Q}$

Nous sommes dans le cas le plus défavorable car les deux polynômes en présence sont tous les deux homogènes. Les monômes présents sont donc tous de plus haut degré.

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle 2ac}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -2a^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle b^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle b^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle bc}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle b^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -b^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle bc^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle bc^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle c^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle bc^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -bc}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -a^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -b^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -b^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -b^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -b^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -c^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -c^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -c^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle c^{2}}$.

Nous constatons que nous avons obtenu deux fois le monôme ${\displaystyle -b^{2}}$ et deux fois le monôme ${\displaystyle c^{2}}$

Nous considérerons donc que ces deux monômes ont une forte probabilité de figurer dans ${\displaystyle Q}$ et nous poserons :

${\displaystyle Q=c^{2}-b^{2}+R}$

En remplaçant plus haut, on obtient :

${\displaystyle 2a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=(a+b-c)(c^{2}-b^{2}+R)}$

qui se simplifie ainsi :

${\displaystyle 2a^{2}c+ab^{2}-ac^{2}-a^{3}=(a+b-c)\times R}$

la situation s'est un peu améliorée car nous n'avons plus que 4 monômes au premier membre (au lieu de 6).

et on recommence :

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle 2ac}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle 2a^{2}c}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -2a^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle ab^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle b^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle ab^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle ab}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle ab^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -ac^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -c^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -ac^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -ac^{2}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle ac}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle a}$ du second membre donne le monôme ${\displaystyle -a^{2}}$.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle b}$ n'est pas possible.

Le quotient du monôme ${\displaystyle -a^{3}}$ du premier membre par le monôme ${\displaystyle -c}$ n'est pas possible.

Nous n'avons pas, cette fois, de monômes égaux. Mais nous avons deux quotients en ${\displaystyle ac}$ et deux quotients en ${\displaystyle a^{2}}$ mais avec des coefficients différents.

Nous poserons donc :

${\displaystyle R=xac+ya^{2}+L}$

Nous réservant par la suite la possibilité de choisir ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ de façon à minimiser le nombre de monômes du premier membre de l'expression :

${\displaystyle 2a^{2}c+ab^{2}-ac^{2}-a^{3}=(a+b-c)(xac+ya^{2}+L)}$

qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle (x-1)ac^{2}+(2-x+y)a^{2}c+ab^{2}-ya^{2}b-xabc-(y+1)a^{3}=(a+b-c)\times L}$

Si l'on veut faire disparaître un maximum de monôme du premier membre, l'idéal serait que ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ satisfasse le système :

${\displaystyle {\begin{cases}x-1=0\\2-x+y=0\\y=0\\x=0\\y+1=0\end{cases}}}$

Nous voyons que l'on peut satisfaire trois équations en prenant :

${\displaystyle {\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}}$

Dans ce cas, on aura :

${\displaystyle R=ac-a^{2}+L}$

qui nous donnera :

${\displaystyle ab^{2}+a^{2}b-abc=(a+b-c)\times L}$

et nous remarquons que l'on peut factoriser sous la forme :

${\displaystyle (b+a-c)\times ab=(a+b-c)\times L}$

Ce qui nous montre que :

${\displaystyle L=ab}$

Si l'on récapitule, on a :

${\displaystyle Q=c^{2}-b^{2}+R=c^{2}-b^{2}+ac-a^{2}+L=c^{2}-b^{2}+ac-a^{2}+ab}$

En reportant dans :

${\displaystyle 2a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=(a+b-c)\times Q}$

on obtient finalement :

${\displaystyle 2a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=(a+b-c)(c^{2}-b^{2}+ac-a^{2}+ab)}$

Exemple.

Soit à factoriser l'expression :

${\displaystyle a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)}$

Nous voyons que cette expression est invariante par permutation circulaire des variables ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$.

Si l'on remplace ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$, nous voyons que l'expression s'annule. D'après la règle 2, on en déduit que l'on peut mettre ${\displaystyle (a-b)}$ en facteur. Mais ${\displaystyle (a-b)}$ n'est pas invariante par permutation circulaire des variables ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$. D'après la règle 5, on en déduit que l'on peut aussi mettre en facteur les expressions obtenues par permutation circulaire des variables ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ et ${\displaystyle c}$ dans l'expression ${\displaystyle (a-b)}$, c'est-à-dire ${\displaystyle (b-c)}$ et ${\displaystyle (c-a)}$.

Il existera donc une expression ${\displaystyle Q}$ tel que :

${\displaystyle a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)\times Q}$

Mais d'après la règle 1, on déduit que ${\displaystyle Q}$ est un polynôme homogène de degré 0, c'est-à-dire une constante que l'on détermine facilement et qui est 1.

On obtient donc finalement :

${\displaystyle a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)}$

Exemple.

Soit à simplifier l'expression :

${\displaystyle {\frac {a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)}{a^{2}+b^{2}-a+1}}}$

Toute tentativespour factoriser le dénominateur pour faire apparaître un facteur qui pourrait aussi apparaître dans le numérateur semble vouée à l'échec. Toutefois si l'exercice a été posé c'est que le dénominateur en entier doit être un facteur du numérateur. Pour le vérifier, utilisons la règle 2 en remplaçant dans le numérateur ${\displaystyle b^{2}}$ par ${\displaystyle a-a^{2}-1}$ (c'est ce qui semble le plus simple). On obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)&=a^{4}+(a-a^{2}-1)^{2}+(a^{2}+1)(2a-2a^{2}-2+1)\\&=a^{4}+a^{2}+a^{4}+1-2a^{3}-2a+2a^{2}+2a^{3}-2a^{4}-a^{2}+2a-2a^{2}-1\\&=0\end{aligned}}}$

Il existe donc ${\displaystyle Q}$ tel que :

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)=(a^{2}+b^{2}-a+1)\times Q}$

et c'est là qu'intervient la règle 6.

Nous voyons que le premier membre est pair par rapport à ${\displaystyle a}$. Le second membre doit donc aussi être pair par rapport à ${\displaystyle a}$.

Si l'on transforme ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle -a}$, le second membre devient :

${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+a+1)\times Q'}$

Cette expression devant toujours être égale à ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)}$, nous en déduisons qu'il y a aussi ${\displaystyle (a^{2}+b^{2}+a+1)}$ en facteur.

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)=(a^{2}+b^{2}-a+1)(a^{2}+b^{2}+a+1)\times Q''}$

En développant le second membre on voit que ${\displaystyle Q''=1}$ et donc :

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)=(a^{2}+b^{2}-a+1)(a^{2}+b^{2}+a+1)}$

Finalement, la simplification de l'expression de départ pourra s'effectuer ainsi :

${\displaystyle {\frac {a^{4}+b^{4}+(a^{2}+1)(2b^{2}+1)}{a^{2}+b^{2}-a+1}}={\frac {(a^{2}+b^{2}-a+1)(a^{2}+b^{2}+a+1)}{a^{2}+b^{2}-a+1}}=a^{2}+b^{2}+a+1}$