Commençons par mettre au même dénominateur :

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {a^{2}(c-b)+b^{2}(a-c)+c^{2}(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}}}$.

Nous remarquons que le polynôme au numérateur s'annule dès que deux des trois variables sont égales. Il est donc de la forme ${\displaystyle (a-b)(b-c)(c-a)\times Q}$, où le polynôme ${\displaystyle Q}$, pour des raisons de degré, est une constante. Autrement dit, la fraction à simplifier est en fait une constante.

On l'évalue en choisissant des valeurs particulières pour ${\displaystyle a,b,c}$ : par exemple ${\displaystyle -1,0,1}$, ce qui donne :

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {1}{(-1)(-2)}}+0+{\frac {1}{2}}=1}$.

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\displaystyle {\frac {a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c}{(c-a)(c-b)}}=0}$

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\displaystyle {\frac {bc}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {ac}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {ab}{(c-a)(c-b)}}=1}$

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{3}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{3}}{(c-a)(c-b)}}=a+b+c}$

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\displaystyle {\frac {b^{2}c^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{(c-a)(c-b)}}=ab+ac+bc}$

Nous avons :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^{2}+c^{2}-2ac-b^{2})}}&={\frac {\left[a^{2}-(b+c)^{2}\right](a+b-c)}{(a+b+c)\left[(a-c)^{2}-b^{2}\right]}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-c+b)(a-c-b)}}\\&=1\\\end{aligned}}}$

Le numérateur et le dénominateur s'annulent pour ${\displaystyle x=1}$. On peut donc mettre ${\displaystyle (x-1)}$ en facteur. Nous obtenons :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x^{2}-1)}{(x-1)(x^{3}-3x+2)}}\\&={\frac {x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}}\end{aligned}}}$

On remarque que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour ${\displaystyle x=1}$. On peut donc de nouveau mettre ${\displaystyle (x-1)}$ en facteur. Nous obtenons :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x-2)}}\\&={\frac {x+1}{x^{2}+x-2}}\end{aligned}}}$

On remarque que le dénominateur s'annule pour ${\displaystyle x=1}$. On obtient donc finalement :

${\displaystyle {\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}={\frac {x+1}{(x-1)(x+2)}}}$

Nous avons :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-(b-c)^{2}}}\\&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{(a+b-c)(a-b+c)}}\end{aligned}}}$

Compte-tenu du dénominateur, essayons de voir si l'on ne peut pas factoriser le numérateur par ${\displaystyle (a+b-c)}$ ou ${\displaystyle (a-b+c)}$.

Pour cela remplaçons, dans le numérateur successivement ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b-c}$ et par ${\displaystyle c-b}$.

Pour ${\displaystyle a=b-c}$, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc&=(b-c)^{2}-3(b-c)b+(b-c)c+2b^{2}-2bc\\&=b^{2}-2bc+c^{2}-3b^{2}+3bc+bc-c^{2}+2b^{2}-2bc\\&=0\end{aligned}}}$

On peut donc mettre ${\displaystyle (a-b+c)}$ en facteur dans le numérateur. On obtient :

${\displaystyle {\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {(a-b+c)(a-2b)}{(a+b-c)(a-b+c)}}}$

et on a la simplification suivante :

${\displaystyle {\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {a-2b}{a+b-c}}}$

Nous avons :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})}{ab(x^{2}-y^{2})+xy(a^{2}-b^{2})}}&={\frac {abx^{2}+aby^{2}+xya^{2}+xyb^{2}}{abx^{2}-aby^{2}+xya^{2}-xyb^{2}}}\\&={\frac {ax(bx+ay)+by(ay+bx)}{ax(bx+ay)-by(ay+bx)}}\\&={\frac {(ax+by)(bx+ay)}{(ax-by)(bx+ay)}}\\&={\frac {ax+by}{ax-by}}\end{aligned}}}$

On peut simplifier par ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle {\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}={\frac {a^{4}+ab^{3}-a^{3}b-b^{4}}{a^{3}-ab^{2}+a^{2}b-b^{3}}}}$

et l'on voit qu'en remplaçant ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$, le numérateur et le dénominateur s'annulent. On peut donc factoriser le numérateur et le dénominateur par ${\displaystyle a-b}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}&={\frac {a^{4}-b^{4}+ab^{3}-a^{3}b}{a^{3}-b^{3}-ab^{2}+a^{2}b}}\\&={\frac {a^{3}(a-b)+b^{3}(a-b)}{a(a^{2}-b^{2})+b(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a^{3}+b^{3})}{(a+b)(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{(a+b)(a+b)(a-b)}}\\&={\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a+b}}\\\end{aligned}}}$

Le dénominateur, vu par exemple comme polynôme en ${\displaystyle c}$ (à coefficients dans les polynômes en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$) est unitaire, de degré ${\displaystyle 1}$. On peut donc effectuer une division euclidienne du numérateur par le dénominateur, vus comme polynômes en ${\displaystyle c}$ ; le terme dominant du quotient sera ${\displaystyle {\frac {-c^{3}}{c^{2}}}=-c}$ et le reste sera de degré strictement inférieur à ${\displaystyle 2}$ :

${\displaystyle -c^{3}+c(2a^{2}+2b^{2}+ab)-a^{3}-b^{3}=\left(c^{2}+c(ab+a+b)-a^{2}-b^{2}\right)(-c+P)+cQ+R}$,

où ${\displaystyle P,Q,R}$ sont des polynômes en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$, que l'on calcule par identification des coefficients de ${\displaystyle c^{2}}$, ${\displaystyle c}$ et ${\displaystyle 1}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}0&=P-a-b,\\2a^{2}+2b^{2}+ab&=(a+b)P-ab+a^{2}+b^{2}+Q,\\-a^{3}-b^{3}&=(ab-a^{2}-b^{2})P+R\end{cases}}}$

donc de proche en proche :

${\displaystyle P=a+b,\quad Q=0,\quad R=0}$.

Puisque le reste ${\displaystyle cQ+R}$ est nul, le numérateur est simplement le produit du dénominateur par le quotient ${\displaystyle -c+P=-c+a+b}$, et la simplification recherchée est donc :

${\displaystyle {\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}=a+b-c}$.

Il s'agit de démontrer que

${\displaystyle {\frac {p}{u}}+{\frac {q}{v}}+{\frac {-p-q}{-u-v}}=0\Rightarrow pu^{2}+qv^{2}+(-p-q)(-u-v)^{2}=0}$,

ce qui se réécrit

${\displaystyle (pv+qu)(u+v)+(p+q)uv=0\Rightarrow qu^{2}+pv^{2}+2(p+q)uv=0}$

et qui, en développant, est immédiat.

Si ${\displaystyle c=0}$, le résultat est immédiat.

Si ${\displaystyle c\neq 0}$, on a

${\displaystyle y={\frac {\alpha }{x-\beta }}+\gamma }$

où ${\displaystyle \alpha =(bc-ad)/c^{2},\quad \beta =-d/c,\quad \gamma =a/c}$.

Il suffit donc de vérifier que la quantité ${\displaystyle {\frac {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}}}$ est inchangée quand on remplace (pour ${\displaystyle i=1,2,3,4}$)

1. ${\displaystyle x_{i}}$ par ${\displaystyle u_{i}:=x_{i}-\beta }$, puis
2. ${\displaystyle u_{i}}$ par ${\displaystyle v_{i}:=1/u_{i}}$, puis
3. ${\displaystyle v_{i}}$ par ${\displaystyle w_{i}:=\alpha v_{i}}$, et enfin
4. ${\displaystyle w_{i}}$ par ${\displaystyle y_{i}=w_{i}+\gamma }$.

Vérifions-le pour la transformation 2 (pour les trois autres, c'est immédiat) :

${\displaystyle {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}={\frac {\frac {u_{1}-u_{3}}{u_{3}u_{1}}}{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}u_{2}}}}={\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}$

et de même,

${\displaystyle {\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}={\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}$

donc

${\displaystyle {\frac {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}{\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}}={\frac {{\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}{{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}}={\frac {\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}}}$.