Dans toute la page, même si ce n'est pas indiqué, les variables prennent des valeurs telles que les calculs soient définis.
Exercice 7-1
Rendre rationnel le dénominateur des expressions suivantes :
a)
b)
c)
d)
Dans l'identité remarquable :
nous poserons
et multiplions le numérateur et le dénominateur par . On obtient :
Dans l'identité remarquable :
nous poserons
et multiplions le numérateur et le dénominateur par . On obtient :
Nous allons maintenant utiliser l'identité remarquable :
en posant :
Nous continuerons ainsi :
Exercice 7-2
Établir les relations suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
On est donc ramené à vérifier que :
Ce qui se fait aisément en remarquant que :
La relation est équivalente à :
qui s'écrit :
soit
Ce qui est vrai.
Comme les deux membres sont positifs, montrons que le carré des deux membres sont égaux.
Le carré du premier membre est :
Le carré du deuxième membre est :
On s'est donc ramené à établir la relation plus simple :
qui s'écrit encore plus simplement :
Qui est vraie puisque :
Il nous suffit de montrer que :
Effectivement, on a bien :
Calculons le cube des deux membres :
Pour le premier membre :
Pour le deuxième membre :
En élevant les deux membres au cube, nous obtenons le même résultat. On a donc bien :
Pour établir cette égalité, nous comparerons les deux membres élevées à la puissance 6.
Pour le premier membre, on a :
Pour le deuxième membre, on a :
Les deux membres à la puissance 6 étant égaux, on a bien :
Exercice 7-3
Simplifier les expressions suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
h)
Exercice 7-4
Simplifier les expressions littérales suivantes :
a)
b)
c)
d)
e)
L'expression sous le radical n'est définie que si ou si .
Nous devons aussi exclure la valeur car elle annule le dénominateur.
Premier cas :
Deuxième cas : .
Exercice 7-5
On suppose que :
en déduire que :
Si ou , on vérifie aisément que la relation est vraie.
Si et non nuls, nous avons :
posons alors :
on alors :
Nous pouvons partir de :
qui peut s'écrire :
soit :
et en simplifiant par , on obtient:
Exercice 7-6
Pour tout établir la formule :
Nous pouvons commencer par transformer le second membre en utilisant l'identité remarquable :
En posant :
On a alors :
En remplaçant dans :
on obtient :
qui se simplifie par et on est donc ramené à démontrer la relation suivante :
qui s'écrit aussi :
et l'on remarque que l'on obtient directement cette relation en utilisant l'identité remarquable (vu en cours) :
en posant cette fois :