Lemme de Steinitz
Démontrer que si v1, … , vm sont des vecteurs linéairement indépendants d'un espace vectoriel V engendré par w1, … , wn alors m ≤ n et, à permutation près des wk, l'ensemble {v1, … , vm, wm+1, … , wn} engendre V.
- Puisque v1 appartient à V, il existe des scalaires λ1, … , λn tels que
- .
Comme v1 est non nul (puisqu'il appartient à une famille libre), l'un au moins de ces scalaires est non nul. Quitte à réordonner les wk, on peut donc supposer que λ1 est non nul. L'équation se réécrit alors
- .
Ceci permet d'affirmer que l'ensemble {v1, w2, … , wn} engendre encore V.
- On recommence cette opération pour chaque vi (pour i de 1 à m). À l'étape i, le raisonnement est le suivant. Puisque (à ce stade) {v1, … , vi–1, wi, … , wn} engendre V, il existe des scalaires μ1, … , μn tels que
- .
Comme vi n'est pas combinaison linéaire de v1, ..., vi–1, l'un au moins des scalaires μi, … , μn est non nul (ce qui prouve au passage que i ≤ n). Quitte à réordonner à nouveau les wk correspondants, on peut alors supposer que μi est non nul, d'où l'on tire
- ,
si bien que {v1, … , vi, wi+1, … , wn} engendre encore V.
- À la fin de la m-ième opération, on obtient le résultat annoncé.