- désigne ou
- E est un -espace vectoriel.
Être ou ne pas être un espace vectoriel ?
1. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a.
- b.
- c.
- d.
2. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a. E2a = Ensemble des suites bornées
- b. E2b = Ensemble des suites monotones
- c. E2c = Ensemble des suites convergentes
- d. E2d = Ensemble des suites arithmétiques
3. Les espaces suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de ?
- a.
- b.
- c.
- d.
- Série 1
a. et
Donc E1a n’est pas un sous-espace vectoriel de .
b. et
Donc E1b n’est pas un sous-espace vectoriel de .
c. Soit
- Donc
Donc E1c est un sous-espace vectoriel de .
d. et
Donc E1d n’est pas un sous-espace vectoriel de .
- Série 2
a. Oui b. Non c. Oui d. Oui
- Série 3
a. Non b. Oui c. Non d. Oui
Exercice 1
Soient les sous-ensembles de suivants :
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de .
2. Déterminer .
- Question 1
- Soient . Alors et
F est bien un sous espace vectoriel de .
- .
G est bien un sous espace vectoriel de .
- Question 2
Ainsi, .
Exercice 2
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que
, où :
- la première équivalence se déduit du fait que l'inclusion est toujours vraie (par exemple parce que ) ;
- la deuxième, de l'égalité (et du fait que est un sous-espace vectoriel) ;
- la dernière est une propriété purement ensembliste.
Exercice 3
Soient et deux sous-espaces vectoriels de . Montrer que est un sous-espace vectoriel de (si et) seulement si ou .
est immédiat. Pour prouver , démontrons la contraposée, c'est-à-dire : supposons que et et montrons qu'alors, n'est pas un sous-espace vectoriel de .
Par hypothèse, il existe un vecteur et un vecteur .
Ces deux vecteurs appartiennent à mais leur somme n'appartient ni à (sinon, puisque et que est stable par différences, on aurait , ce qui est contraire au choix de ), ni à (de même en intervertissant les couples et ). Donc n'est pas stable par .
Exercice 4
Soient les espaces :
Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de .
Pour montrer que et sont supplémentaires de , ce que l’on écrit , il faut voir que
(i) ,
(ii) Toute fonction s’écrit avec et .
(i) : Soit ; puisque alors est constante : pour tout . De plus, puisque est également dans alors et donc .
(ii) : On pose et . Alors naturellement est une constante, donc ; utilisant la linéarité de l'intégrale, on observe que . Finalement on a trivialement