1. ${\displaystyle e_{1}=(1,0,-1)/{\sqrt {2}}}$.
   ${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\|u\|}}}$ avec ${\displaystyle u=(1,-1,0)-{\frac {1}{2}}\varphi ((1,-1,0),(1,0,-1))(1,0,-1)=(1,-1,0)-(1/2,0,-1/2)=(1/2,-1,1/2)}$ donc ${\displaystyle \|u\|={\sqrt {3/2}}}$ et ${\displaystyle e_{2}={\sqrt {2/3}}(1/2,-1,1/2)={\frac {1}{\sqrt {6}}}(1,-2,1)}$.
   ${\displaystyle p(v)=0}$ car ${\displaystyle v\perp F}$.
   Le plan ${\displaystyle \operatorname {Vect} (F)=v^{\bot }}$ a pour équation ${\displaystyle x+y+z=0}$.
2. ${\displaystyle e_{1}=(1,1,0,0)/{\sqrt {2}}}$.
   ${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\|u\|}}}$ avec ${\displaystyle u=(1,0,-1,1)-{\frac {1}{2}}\varphi ((1,0,-1,1),(1,1,0,0))(1,1,0,0)=(1,0,-1,1)-{\frac {1}{2}}(1,1,0,0)=(1/2,-1/2,-1,1)}$ donc ${\displaystyle \|u\|={\sqrt {5/2}}}$ et ${\displaystyle e_{2}={\sqrt {2/5}}(1/2,-1/2,-1,1)={\frac {1}{\sqrt {10}}}(1,-1,-2,2)}$.
   ${\displaystyle e_{3}={\frac {w}{\|w\|}}}$ avec ${\displaystyle w=}$
   ${\displaystyle (0,1,1,1)-{\frac {1}{2}}\varphi ((0,1,1,1),(1,1,0,0))(1,1,0,0)-{\frac {1}{10}}\varphi ((0,1,1,1),(1,-1,-2,2))(1,-1,-2,2)=}$
   ${\displaystyle (-2/5,2/5,4/5,6/5)={\frac {2}{5}}(-1,1,2,3)}$ donc ${\displaystyle \|w\|={\frac {2}{5}}{\sqrt {15}}}$ et ${\displaystyle e_{3}={\frac {1}{\sqrt {15}}}(-1,1,2,3)}$.
   ${\displaystyle p(v)=\varphi (v,e_{1})e_{1}+\varphi (v,e_{2})e_{2}+\varphi (v,e_{3})e_{3}=(1,1,0,0)+{\frac {1}{3}}(-1,1,2,3)=(2/3,4/3,2/3,1)}$.
   L'hyperplan ${\displaystyle \operatorname {Vect} (F)}$ a pour équation ${\displaystyle 0={\begin{vmatrix}1&1&0&x\\1&0&1&y\\0&-1&1&z\\0&1&1&t\end{vmatrix}}=2(x-y+z)}$, ou encore : ${\displaystyle y=x+z}$ (effectivement : les trois vecteurs de ${\displaystyle F}$ vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi).
3. Vérifions d'abord que la forme bilinéaire symétrique ${\displaystyle \varphi }$ est bien définie positive, et cela sans même appliquer l'algorithme de Gauss : pour tout ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$ non nul,
   ${\displaystyle \varphi (x,x)=3x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}>0}$.
   ${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)/{\sqrt {\varphi ((1,0,0),(1,0,0)}}=(1/{\sqrt {3}},0,0)}$.
   ${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\sqrt {\varphi (u,u)}}}}$ avec u${\displaystyle =(0,1,0)-{\frac {1}{3}}\varphi ((0,1,0),(1,0,0))(1,0,0)=(1/3,1,0)}$ donc ${\displaystyle \varphi (u,u)=1/3-2/3+3=8/3}$ et ${\displaystyle e_{2}={\sqrt {\frac {3}{8}}}(1/3,1,0)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}}}(1,3,0)}$.
   ${\displaystyle p(v)=0}$ car ${\displaystyle v\perp F}$ (car ${\displaystyle \varphi }$ ne contient pas de terme ${\displaystyle x_{1}y_{3}}$ ni ${\displaystyle x_{2}y_{3}}$).
   Le plan ${\displaystyle \operatorname {Vect} (F)=v^{\bot }}$ a pour équation 0${\displaystyle =\varphi ((x_{1},x_{2},x_{3}),v)=3x_{3}}$, ou encore : ${\displaystyle x_{3}=0}$ (effectivement : les deux vecteurs de ${\displaystyle F}$ vérifient cette équation, donc toute combinaison linéaire de ces trois vecteurs la vérifie aussi).
4. ${\displaystyle e_{1}=1/{\sqrt {2}}}$.
   ${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\|u\|}}}$ avec ${\displaystyle u=X-{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x\,\mathrm {d} x=X}$ donc ${\displaystyle \|u\|={\sqrt {2/3}}}$ et ${\displaystyle e_{2}={\sqrt {3/2}}X}$.
   ${\displaystyle e_{3}={\frac {w}{\|w\|}}}$ avec ${\displaystyle w=X^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x^{2}\,\mathrm {d} x-X{\frac {3}{2}}\int _{-1}^{1}x^{3}\,\mathrm {d} x=X^{2}-{\frac {1}{3}}}$ donc
   ${\displaystyle \|w\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(x^{4}-(2/3)x^{2}+1/9)\,\mathrm {d} x}}={\sqrt {\int _{-1}^{1}(x^{4}-(2/3)x^{2}+1/9)\,\mathrm {d} x}}={\sqrt {\frac {8}{45}}}}$ et
   ${\displaystyle e_{3}={\sqrt {\frac {45}{8}}}(X^{2}-{\frac {1}{3}})={\sqrt {\frac {5}{8}}}(3X^{2}-1)}$.
   ${\displaystyle p(v)=\varphi (v,e_{1})e_{1}+\varphi (v,e_{2})e_{2}+\varphi (v,e_{3})e_{3}}$
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}x^{3}\,\mathrm {d} x+{\frac {3}{2}}X\int _{-1}^{1}x^{4}\,\mathrm {d} x+{\frac {5}{8}}(3X^{2}-1)\int _{-1}^{1}x^{3}(3x^{2}-1)\,\mathrm {d} x={\frac {3}{5}}X}$.
   Dans cette question et la suivante, l'équation de l'hyperplan ${\displaystyle \operatorname {Vect} (F)}$ est simplement ${\displaystyle t=0}$, en notant ${\displaystyle (x,y,z,t)}$ les coordonnées d'un polynôme de ${\displaystyle \mathbb {R} _{3}[X]}$ dans la base canonique ${\displaystyle (1,X,X^{2},X^{3})}$.
5. ${\displaystyle e_{1}=1}$.
   ${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\|u\|}}}$ avec ${\displaystyle u=X-\int _{0}^{1}x\,\mathrm {d} x=X-1/2}$ donc
   ${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{0}^{1}(x^{2}-x+1/4)\,\mathrm {d} x=1/3-1/2+1/4=1/12}$ et ${\displaystyle e_{2}=(X-1/2){\sqrt {12}}=(2X-1){\sqrt {3}}}$.
   ${\displaystyle e_{3}={\frac {w}{\|w\|}}}$ avec ${\displaystyle w=X^{2}-{\frac {1}{3}}-3(2X-1)\int _{0}^{1}(2x^{3}-x^{2})\,\mathrm {d} x=X^{2}-X+{\frac {1}{6}}}$ donc
   ${\displaystyle \|w\|^{2}=\int _{0}^{1}(x^{4}-2x^{3}+4x^{2}/3-x/3+1/36)\,\mathrm {d} x=1/5-1/2+4/9-1/6+1/36=1/180}$ et
   ${\displaystyle e_{3}={\sqrt {180}}(X^{2}-X+1/6)={\sqrt {5}}(6X^{2}-6X+1)}$.
   ${\displaystyle p(v)=\varphi (v,e_{1})e_{1}+\varphi (v,e_{2})e_{2}+\varphi (v,e_{3})e_{3}}$
   ${\displaystyle =\int _{0}^{1}x^{3}\,\mathrm {d} x+3(2X-1)\int _{0}^{1}(2x^{4}-x^{3})\,\mathrm {d} x+5(6X^{2}-6X+1)\int _{0}^{1}x^{3}(6x^{2}-x+1)\,\mathrm {d} x}$
   ${\displaystyle =1/4+(6X-3)3/20+(6X^{2}-6X+1)/4=(30X^{2}-12X+1)/20}$.

1. D'après l'exercice précédent (question 4), ${\displaystyle e_{1}=1/{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle e_{2}={\sqrt {3/2}}X}$, ${\displaystyle e_{3}={\sqrt {\frac {5}{8}}}(3X^{2}-1)}$ et le projeté de ${\displaystyle X^{3}}$ sur ${\displaystyle \operatorname {Vect} (e_{1},e_{2},e_{3})}$ est ${\displaystyle 3X/5}$ donc ${\displaystyle e_{4}={\frac {z}{\|z\|}}}$ avec ${\displaystyle z=X^{3}-3X/5}$ donc ${\displaystyle \|z\|^{2}=\int _{-1}^{1}(x^{6}-6x^{4}/5+9x^{2}/25)\,\mathrm {d} x=2(1/7-6/25+3/25)=8/(7\times 25)}$ et ${\displaystyle e_{4}={\sqrt {\frac {7}{8}}}(5X^{3}-3X)}$.
2. Pour tout ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, l'application ${\displaystyle P\mapsto P(t)}$ est une forme linéaire sur ${\displaystyle E}$ donc d'après le théorème de représentation de Riesz, elle est de la forme ${\displaystyle P\mapsto \varphi (P,Q_{t})}$ pour un certain ${\displaystyle Q_{t}\in E}$ (unique).
   ${\displaystyle Q_{t}=\sum _{i=1}^{4}\varphi (e_{i},Q_{t})e_{i}=\sum _{i=1}^{4}e_{i}(t)e_{i}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}tX+{\frac {5}{8}}(3t^{2}-1)(3X^{2}-1)+{\frac {7}{8}}(5t^{3}-3t)(5X^{3}-3X)}$
   ${\displaystyle ={\frac {35}{8}}(5t^{3}-3t)X^{3}+{\frac {15}{8}}(3t^{2}-1)X^{2}+{\frac {15}{8}}(-7t^{3}+5t)X+{\frac {3}{8}}(-5t^{2}+3)}$.

${\displaystyle e_{1}={\frac {1}{\|1\|}}={\frac {1}{2}}}$.
${\displaystyle e_{2}={\frac {u}{\|u\|}}}$ avec ${\displaystyle u=X-\varphi (e_{1},X)e_{1}=X-3/2}$ donc ${\displaystyle \|u\|^{2}=(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}=5}$ et ${\displaystyle e_{2}={\frac {X-3/2}{\sqrt {5}}}}$.
${\displaystyle e_{3}={\frac {v}{\|v\|}}}$ avec ${\displaystyle v=X^{2}-\varphi (e_{1},X^{2})e_{1}-\varphi (e_{2},X^{2})e_{2}}$
${\displaystyle =X^{2}-{\frac {1}{4}}(1+4+9)-{\frac {1}{5}}(-1/2+2+27/2)(X-3/2)=X^{2}-3X+1}$ donc
${\displaystyle \|v\|^{2}=1^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}=4}$ et ${\displaystyle e_{3}={\frac {1}{2}}(X^{2}-3X+1)}$.
${\displaystyle e_{4}={\frac {w}{\|w\|}}}$ avec ${\displaystyle w=X^{3}-\varphi (e_{1},X^{3})e_{1}-\varphi (e_{2},X^{3})e_{2}-\varphi (e_{3},X^{3})e_{3}=}$
${\displaystyle X^{3}-{\frac {1}{4}}(1+8+27)-{\frac {1}{5}}(-1/2+4+81/2)(X-3/2)-{\frac {1}{4}}(-1-8+27)(X^{2}-3X+1)=}$
${\displaystyle X^{3}-9-{\frac {44}{5}}(X-3/2)-{\frac {9}{2}}(X^{2}-3X+1)=X^{3}-9X^{2}/2+47X/10-3/10}$ donc
${\displaystyle \|w\|^{2}=(-3/10)^{2}+(9/10)^{2}+(-9/10)^{2}+(3/10)^{2}=9/5}$ et
${\displaystyle e_{4}={\frac {\sqrt {5}}{3}}(X^{3}-9X^{2}/2+47X/10-3/10)}$.