Oui car ${\displaystyle Q(V)=^{\operatorname {t} }\!V{\begin{pmatrix}3&0&3/2\\0&-5&0\\3/2&0&0\end{pmatrix}}V}$.

La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est nulle, or sa matrice est ${\displaystyle {\frac {A+^{\operatorname {t} }\!A}{2}}}$. Donc ${\displaystyle A}$ est antisymétrique.

1. • Soit ${\displaystyle \mathbf {1} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$ le vecteur dont toutes les composantes sont égales à ${\displaystyle 1}$. Dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ muni de sa structure euclidienne canonique, on a ${\displaystyle \left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=|\langle \mathbf {1} _{n}\mid A(\mathbf {1} _{n})\rangle |\leq \|\mathbf {1} _{n}\|\|A(\mathbf {1} _{n})\|=\|\mathbf {1} _{n}\|^{2}=n}$.
   • Soit ${\displaystyle B\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ la matrice dont toutes les composantes sont égales à ${\displaystyle \pm 1}$, les signes étant choisis de telle façon que ${\displaystyle b_{j,i}a_{i,j}=|a_{i,j}|}$. Dans ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ muni de sa structure euclidienne canonique, ${\displaystyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|=\langle B\mid A\rangle \leq \|B\|\|A\|={\sqrt {n^{2}}}{\sqrt {n}}=n^{3/2}}$.
2. • ${\displaystyle \left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=n\Leftrightarrow A(\mathbf {1} _{n})=\pm \mathbf {1} _{n}}$.
   • ${\displaystyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|=n^{3/2}\Leftrightarrow A=\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}}B\Leftrightarrow }$ tous les ${\displaystyle |a_{i,j}|}$ sont égaux à ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}$, n est pair, et ${\displaystyle A}$ (en plus d'être orthogonale) est symétrique.

${\displaystyle \langle f(x)\mid y\rangle =\langle x\mid y\rangle +\alpha \langle x\mid v\rangle \langle v\mid y\rangle =\langle x\mid y\rangle +\alpha \langle y\mid v\rangle \langle x\mid v\rangle =\langle x\mid f(y)\rangle }$ donc ${\displaystyle f}$ est autoadjoint.

${\displaystyle f}$ est donc une isométrie si et seulement si c'est une involution. ${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(x)+\alpha \langle f(x)\mid v\rangle v=x+\alpha \langle x\mid v\rangle v+\alpha \langle x+\alpha \langle x\mid v\rangle v\mid v\rangle v=x+\left(2+\alpha \|v\|^{2}\right)\alpha \langle x\mid v\rangle v}$ donc ${\displaystyle f\circ f=\mathrm {id} _{E}\Leftrightarrow \alpha =-2/\|v\|^{2}}$.

Si ${\displaystyle \|u\|=\|v\|}$ alors ${\displaystyle u+v\perp u-v}$ donc ${\displaystyle f(u)+f(v)\perp f(u)-f(v)}$ donc ${\displaystyle \|f(u)\|=\|f(v)\|}$. Soit ${\displaystyle \alpha }$ la norme commune à tous les ${\displaystyle f(u)}$ pour ${\displaystyle u}$ unitaire. Alors, ${\displaystyle \alpha >0}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}f\in \mathrm {O} (E)}$.

${\displaystyle \forall M,N\in E\quad \langle \phi (M)\mid N\rangle =\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!(AMB)N)=\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!B\,{}^{\operatorname {t} }\!M\,{}^{\operatorname {t} }\!AN)=\operatorname {tr} ({}^{\operatorname {t} }\!M\,{}^{\operatorname {t} }\!A\,N{}^{\operatorname {t} }\!B)=\langle M\mid {}^{\operatorname {t} }\!A\,N\,{}^{\operatorname {t} }\!B\rangle }$

donc ${\displaystyle \phi ^{*}(N)={}^{\operatorname {t} }\!A\,N\,{}^{\operatorname {t} }\!B}$.

On pose ${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\operatorname {card} (G)}}\sum _{g\in G}\langle g(x)|g(y)\rangle }$.

Par construction, ${\displaystyle f}$ est bilinéaire, symétrique et définie positive.

Pour tout ${\displaystyle h\in G}$, ${\displaystyle f(h(x),h(y))=f(x,y)}$ parce que l'application ${\displaystyle G\to G,\,g\mapsto g\circ h}$ est bijective.

1. Immédiat, par composition de l'application « restriction à la sphère unité ${\displaystyle S}$ » et de la norme sup usuelle, définie sur l'ensemble des applications de ${\displaystyle S}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
2. ${\displaystyle m}$ est atteint (car ${\displaystyle S}$ est compacte) donc ${\displaystyle m>0}$.
3. Si ${\displaystyle M:=N(q-q_{0})<m}$ alors ${\displaystyle \|x\|=1\Rightarrow q(x)\geq q_{0}(x)-M\geq m-M>0}$ donc ${\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)}$.
4. Par conséquent, ${\displaystyle {\mathcal {Q}}^{++}(E)}$ est un ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(E)}$ (pour la norme ${\displaystyle N}$ donc pour n'importe quelle norme sur ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(E)}$ puisque toutes sont équivalentes). On en déduit que ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{++}(E)}$ est un ouvert de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(E)}$ (puisque l'isomorphisme canonique de ${\displaystyle {\mathcal {S}}(E)}$ dans ${\displaystyle {\mathcal {Q}}(E)}$ envoie ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{++}(E)}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {Q}}^{++}(E)}$).

1. Soient ${\displaystyle \lambda _{1}<\dots <\lambda _{m}}$ les valeurs propres de ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle E=\oplus _{i=1}^{m}E_{i}}$ la décomposition correspondante en sous-espaces propres. Alors, les valeurs propres de ${\displaystyle u^{p}}$ sont ${\displaystyle \lambda _{1}^{p}<\dots <\lambda _{m}^{p}}$ et les sous-espaces propres sont les mêmes.
2. Même raisonnement.
3. Conséquence immédiate de 2.
4. Conséquence immédiate de 1.

Dans les deux cas, ${\displaystyle \phi }$ est évidemment une forme bilinéaire sur ${\displaystyle E}$.

1. ${\displaystyle \phi }$ est symétrique et ${\displaystyle \phi ((x_{1},x_{2}),(x_{1},x_{2}))={\sqrt {x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2}}}={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{2}^{2}}}=\|(x_{1}+x_{2},x_{2})\|^{2}}$ donc ${\displaystyle \phi }$ est un produit scalaire, de norme euclidienne associée ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto \|(x_{1}+x_{2},x_{2})\|}$.
2. ${\displaystyle \phi }$ n'est pas un produit scalaire car elle n'est même pas symétrique : par exemple, ${\displaystyle \phi ((0,1),(1,0))=1}$ tandis que ${\displaystyle \phi ((1,0),(0,1))=-1}$.

Dans les deux cas, ${\displaystyle \phi }$ est évidemment une forme bilinéaire symétrique sur ${\displaystyle E}$.

1. ${\displaystyle \phi (P,P)=-\int _{0}^{1}PP''=\int _{0}^{1}{P'}^{2}>0}$ pour tout ${\displaystyle P\in E}$ non nul, donc ${\displaystyle \phi }$ est un produit scalaire sur ${\displaystyle E}$ et la norme euclidienne associée est ${\displaystyle P\mapsto {\sqrt {\int _{0}^{1}{P'}^{2}}}}$.
2. ${\displaystyle \phi (P,P)=P(0)^{2}+P'(0)^{2}+P''(0)^{2}>0}$ pour tout ${\displaystyle P\in \mathbb {R} _{2}[X]}$ non nul, donc ${\displaystyle \phi }$ est un produit scalaire sur ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}[X]}$ et la norme euclidienne associée est ${\displaystyle P\mapsto {\sqrt {P(0)^{2}+P'(0)^{2}+P''(0)^{2}}}}$.

Il s'agit simplement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

1. pour ${\displaystyle \phi }$ ;
2. pour le produit scalaire canonique sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et les deux vecteurs :
   1. ${\displaystyle (1,2,\dots ,n)}$ et ${\displaystyle ({\sqrt {1}},{\sqrt {2}},\dots ,{\sqrt {n}})}$, sachant que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}$,
   2. ${\displaystyle (1/{\sqrt {x_{1}}},1/{\sqrt {x_{2}}},\dots ,1/{\sqrt {x_{n}}})}$ et ${\displaystyle ({\sqrt {x_{1}}},{\sqrt {x_{2}}},\dots ,{\sqrt {x_{n}}})}$.

1. L'application ${\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (^{t}AB)}$ étant évidemment un produit scalaire, ${\displaystyle N}$ est la norme euclidienne associée (c'est en fait — à isomorphisme près — la norme euclidienne canonique sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}$).
2. ${\displaystyle N(AB)^{2}=\sum _{1\leq i,j\leq n}c_{i,j}^{2}\$avec\$c_{i,j}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^{2}\leq \sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}}$ (par Cauchy-Schwarz), si bien que

   ${\displaystyle N(AB)^{2}\leq \sum _{1\leq i,j\leq n}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}\right)=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{i,k}^{2}\sum _{1\leq \ell ,j\leq n}b_{\ell ,j}^{2}=N(A)^{2}N(B)^{2}}$.

${\displaystyle \|v_{1}\|={\sqrt {7}}}$.

${\displaystyle v_{2}+\lambda v_{1}\perp v_{1}\Leftrightarrow 4+7\lambda =0}$.

${\displaystyle \|v_{2}-(4/7)v_{1}\|=\|(-4,13,11,-11)\|/7={\sqrt {427}}/7}$.

Une b.o.n. de ${\displaystyle F}$ est donc : ${\displaystyle (v_{1}/{\sqrt {7}},(-4,13,11,-11)/{\sqrt {427}})}$.

Par ailleurs, un système d'équations de ${\displaystyle F^{\bot }}$ est : ${\displaystyle x+2y-z+t=0,\,3y+z-t=0}$.

1. Le seul point non immédiat est : ${\displaystyle \phi (P,P)=0\Rightarrow P=0}$. Il est dû au fait que le seul polynôme de degré ${\displaystyle \leq 2}$ qui admet 3 racines (au moins) est le polynôme nul.
2. ${\displaystyle G=\{P\in \mathbb {R} _{2}[X]\mid 2P(1)+6P(2)=0\}=\{P\in \mathbb {R} _{2}[X]\mid P(1)+3P(2)=0\}}$.
3. ${\displaystyle P=aX^{2}+bX+c\in G\Leftrightarrow a+b+c+3(4a+2b+c)=0\Leftrightarrow 13a+7b+4c=0}$ donc une base de ${\displaystyle G}$ est (par exemple) ${\displaystyle (4X^{2}-13,4X-7)}$.