On peut ajouter aux deux membres d'une inégalité le même nombre réel

pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Pour ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$,

Si ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ,}$ alors ${\displaystyle a<b\Leftrightarrow a+c<b+c}$

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement positif

pour obtenir une inégalité équivalente de même sens.

Pour ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$,

Si c est strictement positif alors ${\displaystyle a<b\Leftrightarrow a\times c<b\times c}$

On peut multiplier les deux membres d'une inégalité par le même nombre réel strictement négatif

pour obtenir une inégalité équivalente de sens contraire.

Pour ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$,

Si c est strictement négatif alors ${\displaystyle a<b\Leftrightarrow a\times c>b\times c}$

Résolution d'une inéquation du premier degré

Considérons l'inéquation ${\displaystyle -3x+5\leq 4(I)}$

D'après la première propriété,

${\displaystyle (I)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle -3x+5-5\leq 4-5}$

${\displaystyle (I)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle -3x\leq -1}$

D'après la troisième propriété :

${\displaystyle (I)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle x\geq {\frac {-1}{-3}}}$

${\displaystyle (I)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle x\geq {\frac {1}{3}}}$

donc ${\displaystyle S=[{\frac {1}{3}};+\infty [}$

On peut ajouter deux inégalités de même sens

pour obtenir une inégalité de même sens.

Pour ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle a<b}$ et ${\displaystyle c<d}$ ${\displaystyle \Rightarrow a+c<b+d}$

Si a et b appartiennent à ${\displaystyle ]{\frac {3}{2}};+\infty [}$, montrons qu'alors ${\displaystyle a+b-3>0}$.

On a :

${\displaystyle a>{\frac {3}{2}}}$ et ${\displaystyle b>{\frac {3}{2}}}$

donc d’après la quatrième propriété :

${\displaystyle a+b>3}$

et d’après la première propriété

${\displaystyle a+b-3>0}$

Si ${\displaystyle a\in [-2;+\infty [}$ et ${\displaystyle b\in [3;+\infty [}$, montrer qu'alors ${\displaystyle 2a+5b\geq 11}$.

Si a et b appartiennent à ${\displaystyle ]{\frac {3}{2}};+\infty [}$, peut-on affirmer qu'alors ${\displaystyle a-b-3>0}$ ${\displaystyle$ ?}