Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Ordre en géométrie

Pythagore

Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle sont compris entre 2,1 et 2,2 cm pour l'un et entre 3,5 et 3,6 cm pour l'autre.

Donner un encadrement de l'hypoténuse.

(Revoir Pythagore ?)

Solution

${\sqrt {2{,}1^{2}+3{,}5^{2}}}\leq H\leq {\sqrt {2{,}2^{2}+3{,}6^{2}}}\Leftrightarrow {\sqrt {4{,}41+12{,}25}}\leq H\leq {\sqrt {4{,}84+12{,}96}}\Leftrightarrow {\sqrt {16{,}66}}\leq H\leq {\sqrt {17{,}8}}\Rightarrow 4{,}08<H<4{,}22$ .

Génie civil

Une chambre de hauteur sous plafond 2,50 m a une forme rectangulaire de 4,35 m sur 3,27 m.

Donner une valeur approchée au litre près du volume de la pièce.
La longueur L et la largeur l ont été mesurées à 1 cm près. Donner un encadrement du volume (en litres) de la pièce, en réfléchissant au nombre de décimales qu’il est raisonnable de garder.

Solution

En litres donc en dm³, $V=hLl\approx 25\times 43{,}5\times 32{,}7=35561{,}25\approx 35561$ .
1 cm d'erreur sur l'une des trois dimensions donne environ 100 dm³ d'erreur sur le volume. $24{,}9\times 43{,}4\times 32{,}6<V<25{,}1\times 43{,}6\times 32{,}8$ donc $35200<V<35900$ .

Remembrement

Au café d'un village, deux paysans discutent du prochain remembrement.

Le premier exploite un champ rectangulaire de L mètres de long sur l mètres de large.

On lui propose de raccourcir la largeur et d'augmenter la longueur d'une même quantité x.

Cette proposition correspond-t-elle à une augmentation de la surface de son champ ?

Solution

La proposition ne correspond pas à une augmentation de la surface du champ car à périmètre égal, moins le champ est « carré », plus sa surface est petite.

Surface initiale du champ :

S = L×l.

Surface du champ modifié :

S' = (L + x)×(l – x)

= L×l + x×l – x×L – x×x

= S – x×y

avec

y = L – l + x

> L – l > 0

donc S' < S.

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