1. ${\displaystyle 2x+3>-2}$

   ${\displaystyle 2x>-2-3}$

   ${\displaystyle 2x>-5}$

   ${\displaystyle x>{\frac {-5}{2}}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement supérieurs à ${\displaystyle {\frac {-5}{2}}}$, ${\displaystyle S=\left]{\frac {-5}{2}},+\infty \right[}$.

2. ${\displaystyle -4x+1\leq 2x}$

   ${\displaystyle 1\leq 2x+4x}$

   ${\displaystyle 1\leq 6x}$

   ${\displaystyle {\frac {1}{6}}\leq x}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$, ${\displaystyle S=\left[{\frac {1}{6}},+\infty \right[}$.

3. ${\displaystyle 3x+{\frac {4}{3}}<-3x-{\frac {1}{6}}}$

   ${\displaystyle 3x+3x<-{\frac {1}{6}}-{\frac {4}{3}}}$

   ${\displaystyle 6x<-{\frac {3}{2}}}$

   ${\displaystyle x<-{\frac {3}{2\times 6}}=-{\frac {1}{4}}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement inférieurs à ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle S=\left]-\infty ,-{\frac {1}{4}}\right[}$.

4. ${\displaystyle {\sqrt {2}}x-1\geq 3}$

   ${\displaystyle {\sqrt {2}}x\geq 4}$

   ${\displaystyle x\geq {\frac {4}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}}$

   Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle S=\left[2{\sqrt {2}},+\infty \right[}$.

1. Montrer la proposition revient à montrer que ${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{2}-x+1\geq 0}$.

   Or ${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{2}-x+1={\frac {1}{4}}\left(x-2\right)^{2}\geq 0}$, donc l'inégalité est toujours vraie.

2. Montrer la proposition revient à montrer que pour tout réel ${\displaystyle x}$ strictement positif, ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}-2\geq 0}$.

   Or ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}-2={\frac {x^{2}+1-2x}{x}}={\frac {\left(x-1\right)^{2}}{x}}}$ est du signe de ${\displaystyle x}$, donc l'inégalité est vraie pour tout réel ${\displaystyle x}$ strictement positif.

Les deux notes d'Axelle sont ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ avec ${\displaystyle 7<x<12}$ et ${\displaystyle 8<y<11}$ donc ${\displaystyle 15<x+y<23}$ donc ${\displaystyle 7{,}5<{\frac {x+y}{2}}<11{,}5}$.