Soient ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ une famille de vecteurs de E et ${\displaystyle \left(\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ une famille de formes linéaires sur E, telles que

${\displaystyle \forall i,j\in I\quad \varphi _{i}\left(x_{j}\right)=\delta _{i,j}}$,

où ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ désigne le symbole de Kronecker.

Alors, les deux familles ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ et ${\displaystyle \left(\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ sont libres.

Pour toute famille libre ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ de vecteurs de E et toute famille ${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)_{i\in I}}$ de scalaires, il existe au moins une forme linéaire ${\displaystyle \varphi }$ sur E telle que

${\displaystyle \forall i\in I\quad \varphi \left(x_{i}\right)=\lambda _{i}}$.

Si de plus ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ engendre E, cette forme ${\displaystyle \varphi }$ est unique.

Pour toute base ${\displaystyle \left(e_{i}\right)_{i\in I}}$ de E, il existe une unique famille ${\displaystyle \left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}}$ de formes linéaires sur E telle que

${\displaystyle \forall i,j\in I\quad e_{i}^{*}\left(e_{j}\right)=\delta _{i,j}}$.

Si E est de dimension finie, cette famille est une base de ${\displaystyle E^{*}}$, appelée la base duale de ${\displaystyle \left(e_{i}^{*}\right)_{i\in I}}$.

Pour tout espace vectoriel E de dimension finie, l'espace vectoriel E* a même dimension que E.