Supposons par exemple ${\displaystyle (a,b),(a',b')}$ non colinéaires (le raisonnement serait le même dans le cas ${\displaystyle (a,c),(a',c')}$ non colinéaires et dans le cas ${\displaystyle (b,c),(b',c')}$ non colinéaires, et l'hypothèse ${\displaystyle (a,b,c),(a',b',c')}$ non colinéaires garantit qu'on est dans au moins l'un des trois cas).

Alors, le nombre ${\displaystyle e:=ab'-ba'}$ est non nul, ce qui permet de transformer le système des deux équations en une représentation paramétrique de droite :

${\displaystyle {\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}ex+(b'c-bc')z+(b'd-bd')=0\\-ey+(a'c-ac')z+(a'd-ad')=0\end{cases}}\Leftrightarrow \exists t\in \mathbb {R} \ {\begin{cases}x={\frac {bc'-b'c}{e}}t+{\frac {bd'-b'd}{e}}\\y={\frac {a'c-ac'}{e}}t+{\frac {a'd-ad'}{e}}\\z=t.\end{cases}}}$

Notons ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )\neq (0,0,0)}$ les coordonnées de ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et choisissons deux solutions non colinéaires, ${\displaystyle (a,b,c)}$ et ${\displaystyle (a',b',c')}$, de l'équation ${\displaystyle x\alpha +y\beta +z\gamma =0}$ (par exemple, si ${\displaystyle \alpha \neq 0}$, on peut choisir ${\displaystyle (a,b,c)=(-\beta ,\alpha ,0)}$ et ${\displaystyle (a',b',c')=(-\gamma ,0,\alpha )}$ ; si ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ou ${\displaystyle \gamma \neq 0}$, on peut faire des choix similaires).

Posons ensuite ${\displaystyle d:=-ax_{A}-by_{A}-cz_{A}}$. Ainsi, tout point de ${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}}$ a pour coordonnées une solution de ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ car ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \quad a(x_{A}+t\alpha )+b(y_{A}+t\beta )+c(z_{A}+t\gamma )+d=0+t0=0}$.

De même, pour ${\displaystyle d':=-a'x_{A}-b'y_{A}-c'z_{A}}$, tout point de ${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}}$ a pour coordonnées une solution de ${\displaystyle a'x+b'y+c'z+d'=0}$.

La droite ${\displaystyle A+\mathbb {R} {\vec {u}}}$ est alors incluse dans (donc égale à) la droite définie par ces deux équations.