Droites et plans de l'espace/Intersection de droites et de plans dans l'espace

Intersection de deux plans

Les cas possibles pour l'intersection de deux plans dans l'espace, puisqu'ils sont définis chacun par une équation, sont similaires à ceux de l'intersection de deux droites dans le plan :

Théorème

Deux plans parallèles sont soit égaux, soit disjoints.

Dans l'espace de dimension 3, deux plans non parallèles se coupent suivant une droite.

Démonstration

Si deux plans affines parallèles, c'est-à-dire de même direction ${\vec {P}}$ (plan vectoriel), ont un point commun $A$ , alors ils sont tous deux égaux à $A+{\vec {P}}$ . (Ce raisonnement est valide dans un espace de dimension quelconque.)

L'intersection de deux plans non parallèles de l'espace de dimension 3 est définie par deux équations indépendantes (cf. chapitre 3) donc (cf. chapitre 4) c'est une droite.

Intersection d'une droite et d'un plan

Les cas possibles pour l'intersection d'une droite et d'un plan dans l'espace, puisque l'une est de dimension 1 et l'autre de codimension 1, sont, eux aussi, similaires à ceux de l'intersection de deux droites dans le plan :

Théorème

Si une droite est parallèle à un plan $(P)$ alors elle est soit incluse dans $(P)$ , soit disjointe de $(P)$ .

Dans l'espace de dimension 3, si une droite n'est pas parallèle à un plan $(P)$ , alors elle est sécante à $(P)$ en un point.

Démonstration

Si $(D)=A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ est parallèle à $(P)$ , c'est-à-dire si son vecteur directeur ${\vec {u}}$ appartient au plan vectoriel associé ${\vec {P}}$ , et si de plus $(D)$ et $(P)$ ont au moins un point commun $A$ , alors $(D)=A+\mathbb {R} {\vec {u}}\subset A+{\vec {P}}$ . (Ce raisonnement est valide dans un espace de dimension quelconque.)

Si une droite $(D)$ , de paramétrage ${\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha \\y=y_{0}+t\beta \\z=z_{0}+t\gamma \end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )$ , est non parallèle à un plan $(P)$ , d'équation $ax+by+cz+d=0$ , c'est-à-dire si le nombre $e:=a\alpha +b\beta +c\gamma$ est non nul, alors

a\left(x_{0}+t\alpha \right)+b\left(y_{0}+t\beta \right)+c\left(z_{0}+t\gamma \right)+d=0\Leftrightarrow t=-{\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{e}}

donc $(P)$ contient exactement un point de $(D)$ : celui correspondant à cette valeur du paramètre $t$ .

Intersection de deux droites

Dans un espace de dimension 3 (ou plus) :

Contrairement à nos « habitudes planaires », deux droites disjointes ne sont pas toujours parallèles.

Les autres propriétés sont moins inattendues :

Théorème

- Deux droites parallèles sont soit égales, soit disjointes.
- Si deux droites non parallèles ont au moins un point commun, alors elles n'en ont qu'un (elles sont sécantes en ce point).
Deux droites sont coplanaires (c'est-à-dire incluses dans un même plan) si (et seulement si) elles sont sécantes ou parallèles.

Démonstration

Soient deux droites ayant un point commun $A$ : $(D)=A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ et $(D')=A+\mathbb {R} {\vec {v}}$ .

Si $(D)$ et $(D')$ sont parallèles, c'est-à-dire si ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires, alors $\mathbb {R} {\vec {u}}=\mathbb {R} {\vec {v}}$ donc $(D)=(D')$ (et les deux droites sont bien sûr coplanaires).
Sinon, $\mathbb {R} {\vec {u}}\cap \mathbb {R} {\vec {v}}=\{{\vec {0}}\}$ donc $(D)\cap (D')=\{A\}$ . De plus, $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$ , qui contient évidemment $(D)$ et $(D')$ , est alors un plan.

Soient maintenant deux droites strictement parallèles, $(D)=A+\mathbb {R} {\vec {u}}$ et $(D')=B+\mathbb {R} {\vec {u}}$ . Alors, $A+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}=B+\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\overrightarrow {AB}}$ , qui contient évidemment $(D)$ et $(D')$ , est un plan.

Enfin, nous savons déjà que dans un plan, deux droites sont toujours sécantes ou parallèles.

Remarques

Hormis le cas immédiat de l'intersection de deux plans en dimension 3, la méthode la plus simple pour calculer une intersection de deux ensembles de points est de représenter l'un par paramétrage et l'autre par équation(s), afin de déterminer l'ensemble des paramètres des points du premier ensemble qui appartiennent aussi au second. De plus, on a intérêt à réduire le nombre de paramètres et d'équations : par exemple pour déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan, représenter la droite par paramétrage (1 paramètre) et le plan par équation (1 équation), plutôt que l'inverse (2 équations pour la droite et 2 paramètres pour le plan).
Les conclusions géométriques sur l'intersection (D)∩(D') de deux droites pouvaient se déduire, en dimension 3, de celles sur l'intersection d'une droite et d'un plan, en choisissant deux plans (P) et (P') sécants selon (D') : par associativité de l'intersection, (D)∩(D') = [(D)∩(P)]∩(P'), or l'intersection de (D) et d'un plan est soit (D), soit ∅, soit réduite à un point. En termes plus calculatoires, cela revient à appliquer la remarque précédente en paramétrant (D) et en représentant (D') par 2 équations et à déterminer l'ensemble des valeurs du paramètre pour lesquelles le point de (D) appartient aussi à (P), puis le sous-ensemble des valeurs pour lesquelles le point appartient de plus à (P').

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