Si ${\displaystyle f}$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ${\displaystyle I=[a,b]}$ alors,

pour tout réel ${\displaystyle k}$ tel que ${\displaystyle f(a)\leq k\leq f(b)}$,

l'équation ${\displaystyle f(x)=k}$ admet une solution ${\displaystyle c}$ unique dans ${\displaystyle [a,b]}$.

Par convention, les flèches d'un tableau de variation indiquent la stricte monotonie ; cela permet d'appliquer plus facilement ce théorème.

Si ${\displaystyle f}$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ${\displaystyle I=]a,b[}$ (${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ pouvant être infinis) alors,

pour tout réel ${\displaystyle k}$ tel que : ${\displaystyle \lim _{a}f<k<\lim _{b}f}$,

l'équation ${\displaystyle f(x)=k}$ admet une solution ${\displaystyle c}$ unique dans ${\displaystyle ]a,b[}$

• Les limites aux bornes (éventuellement infinies) existent nécessairement en vertu de la monotonie de ${\displaystyle f}$.
• On pourrait fabriquer un théorème semblable pour les intervalles semi-ouverts.

Soit ${\displaystyle f}$ la fonction définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ par ${\displaystyle f(x)=\operatorname {e} ^{x}+x+1}$.

1. Démontrer que ${\displaystyle f(x)=0}$ admet une solution unique ${\displaystyle \alpha }$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
2. Déterminer un encadrement de ${\displaystyle \alpha }$ au dixième.
3. En déduire le tableau de signe de ${\displaystyle f(x)}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.