Exercice 2-1
ƒ est la fonction définie sur par :
.
Le but de l'exercice est de démontrer l’existence d'une solution à l'équation .
1. Justifier la continuité de ƒ sur .
2. Calculer , , les comparer à 8.
3. Conclure.
1. f est une fonction polynôme, elle est donc continue (voir cours)
2. Calculons les images demandées :
et :
Donc |
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En réalité il y a 3 solutions :
Exercice 2-2
ƒ est définie et continue sur par
Le tableau de variations de ƒ est le suivant :
On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.
1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation dans I.
2. a. Justifier que l'équation admet une solution unique, α, dans l'intervalle I.
b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).
c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).
3. On admet que l'équation admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10-2 près (en justifiant la réponse).
1.
- ƒ est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
- ƒ est strictement décroissante sur [-3 ; 1], donc le même théorème assure que l'équation admet aussi une solution unique sur [-3 ; 1] ;
- ƒ est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d’après le même théorème, l'équation admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation admet exactement 3 solutions dans [-4 : 1].
2. a. Nombre de solutions de l'équation :
ƒ admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
Sur [-1 ; 1], ƒ est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation admet une solution unique α dans [-4 ; 1].
b. D'après la question précédente, α ∈ [-1 ; 1]. Or, ƒ(0) = 3 donc 3 < 4 < 19, c'est-à-dire ƒ(0) < 4 < ƒ(1).
Conclusion : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs)
c. Valeur approchée par excès de α au millième près :
- encadrement au dixième près :
ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2), car ƒ est strictement croissante
- donc 0,1 < α < 0,2
- encadrement au centième près :
ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11), car ƒ est strictement croissante
- donc 0,10 < α < 0,11
- encadrement au millième près :
ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002
- or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104
- donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α
Conclusion : α ≈ 0,104 (valeur approchée par excès au millième)
3. β solution de l'équation (encadrement à 10-2 près) avec β ∈ [-3 ; 1].
Sur [-3 ; -1], ƒ est décroissante, donc si ƒ(x) > 0 alors x < β et si ƒ(x) < 0 alors x > β.
- à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
- au dixième près : ƒ(-1,7) ≈ 0,127 et ƒ(-1,6) ≈ -0,136
- donc ƒ(-1,7) > 0 > ƒ(-1,6)
- soit -1,7 < β < -1,6 (à 10-1 près)
- au centième près : ƒ(-1,66) ≈ 0,019 et ƒ(-1,65) ≈ -0,07
- donc ƒ(-1,66) > 0 > ƒ(-1,65)
Conclusion : -1,66 < β < -1,65, encadrement à 10-2 près de β.