Continuité et variations/Exercices/Langage de la continuité

Exercice 1-1

f est une fonction définie sur $[-2,2]$ , avec $f(0)=1$ et f n’est pas continue en 0.

Tracer une courbe qui pourrait représenter f.

Solution

f est la fonction définie sur $\mathbb {R} -{0}$ par :

$f(x)={\frac {e^{x}-1}{x}}$

Quelle valeur faudrait-il attribuer à $f(0)$ pour prolonger f par continuité en 0 ?

Solution

L'expression de $f$ se rapproche de l’expression de la dérivée de la fonction exponentielle en 0, nous allons démontrer cela.

On note $g(x)=e^{x}$ , nous allons calculer la dérivée de $g$ en 0 en utilisant la définition par la limite de la dérivée.

$g'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {g(x)-g(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-e^{0}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}$ .

Or $g'(0)=1$ .

Donc $\lim _{x\to 0}fx)=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1$ .

On peut donc prolonger la fonction $f$ par continuité en 0 en posant $f(0)=1$ .

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