Exercice 3-1

Soit ${\displaystyle u:\left[0,1\right]\to \mathbb {R} }$ définie par ${\displaystyle u(x)=1+(-2x+1)\operatorname {e} ^{2x}}$.

1. Vérifier que pour tout ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle \left[0,1\right]}$, ${\displaystyle u'(x)=-4x\operatorname {e} ^{2x}}$.
2. Démontrer que l'équation ${\displaystyle u(x)=0}$ admet une solution unique ${\displaystyle \alpha }$ dans ${\displaystyle \left[0,1\right]}$.
3. Donner un encadrement de ${\displaystyle \alpha }$ au centième.
4. Dresser le tableau de signe de ${\displaystyle u(x)}$ en justifiant.

Exercice 3-2

Soit f une fonction définie et continue sur ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[}$ dont le tableau de variations est le suivant (les flèches indiquent des variations strictes) :

x	${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle +\infty }$
f(x)	${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \searrow }$ ${\displaystyle 0}$

Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1.

1. Démontrer qu’il existe un réel ${\displaystyle x_{1}\geq 0}$ tel que pour tout ${\displaystyle x\geq x_{1}}$, on ait ${\displaystyle f(x)<{\frac {1}{n}}}$.

2. Démontrer en utilisant 1. que l'équation ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{n}}}$ admet une solution unique sur ${\displaystyle \left[0,x_{1}\right]}$.

3. En déduire que l'équation ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{n}}}$ admet une solution unique sur ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[}$.

4. Question ouverte : toute ébauche de solution même non formalisée sera valorisée.

Démontrer que f ne s'annule pas sur ${\displaystyle \left[0,+\infty \right[}$.

Exercice 3-3

1. Soit ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ une fonction strictement croissante. Montrer qu'il existe ${\displaystyle g,h:\left[a,b\right]\to \mathbb {R} }$ telles que :

   ${\displaystyle f=g+h,\quad g}$ est strictement croissante, et ${\displaystyle h}$ est nulle en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ et strictement positive ailleurs.

2. Même question en remplaçant « positive » par « négative ».
3. Si de plus ${\displaystyle f}$ est continue, montrer que ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ peuvent être choisies de plus continues, et qu'il existe même une infinité non dénombrable de tels couples ${\displaystyle (g,h)}$.
4. Soit ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ une fonction strictement croissante. Déduire des questions précédentes qu'il existe ${\displaystyle g,h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ telles que :

   ${\displaystyle f=g+h,\quad g}$ est strictement croissante, et ${\displaystyle h}$ est « oscillante au voisinage de ${\displaystyle +\infty }$ » (en un sens que vous devrez préciser),

   et que si de plus ${\displaystyle f}$ est continue, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ peuvent être choisies de plus continues.