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Soit ${\displaystyle f}$ la fonction définie sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$ par : ${\displaystyle f(x)=1-x^{2}\ e^{1-x^{2}}}$

1. Démontrer que ${\displaystyle f}$ est continue sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$.

a) Préciser les fonctions g, h, ket i telles que ${\displaystyle f=g-h\times k\circ i}$

b) Justifier de la continuité de g, h, ket i , sur un intervalle bien choisi pour chacune.

c) Conclure quant à la continuité de f sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$.

2. On admet que le tableau de variations de ${\displaystyle f}$ est le suivant :

x	${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle +\infty }$
f(x)	${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \searrow }$ ${\displaystyle \nearrow }$ ${\displaystyle 0}$

a) Démontrer en utilisant les variations de ${\displaystyle f}$ que

pour tout x de ${\displaystyle ]0;1[}$, ${\displaystyle 0<f(x)<1}$

b) Démontrer en utilisant les variations de ${\displaystyle f}$ que

pour tout x de ${\displaystyle ]1;+\infty [}$, ${\displaystyle f(x)>0}$

c) Démontrer que si ${\displaystyle k}$ est un nombre réel de l'intervalle ${\displaystyle ]0,1[}$

l'équation ${\displaystyle f(x)=k}$ admet exactement 1 solution sur ${\displaystyle [0;1]}$

d) En admettant de plus que pour tout x de ${\displaystyle ]1;+\infty [}$, ${\displaystyle f(x)<1}$,

démontrer que si ${\displaystyle k}$ est un nombre réel de l'intervalle ${\displaystyle ]0,1[}$

l'équation ${\displaystyle f(x)=k}$ admet exactement 1 solution sur ${\displaystyle [1;+\infty ]}$

e) Soit k un nombre réel quelconque, discuter en fonction de k et

en utilisant a), b), c), d) le nombre de solutions

dans l'intervalle ${\displaystyle [0;+\infty [}$ de l'équation ${\displaystyle f(x)=k}$.

f) Démontrer le résultat admis en d).

3. ${\displaystyle n}$ étant un entier naturel non nul, en déduire les valeurs de n

pour lesquelles l'équation ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{n}}}$ admet deux solutions distinctes.