Complexes et géométrie/Exercices/Symétrie

Exercice 5-1

On considère les points $A$ d'affixe $1+2\mathrm {i}$ et $B$ d'affixe $4+\mathrm {i}$ .

Donnez l'écriture complexe de la symétrie axiale d'axe la médiatrice de $[AB]$ .

Solution

$z'=a{\bar {z}}+b$ avec :

donc $a={\frac {-4+3\mathrm {i} }{5}}$ et $b={\frac {18-6\mathrm {i} }{5}}$ .

Au point d'affixe $z$ , l'application $f$ associe le point d'affixe $z'=-{\bar {z}}$ .

1° Pourquoi $f$ est-elle un antidéplacement ?

2° Déterminez $f\circ f$ .

3° Rechercher l'ensemble des points invariants par $f$ .

4° Démontrer que $f$ est une symétrie axiale dont vous préciserez l'axe.

Solution

1° $z'=a{\bar {z}}+b$ avec $|a|=1$ .

2° $f\circ f=\mathrm {id}$ .

3° $z=-{\bar {z}}\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R}$ donc l'ensemble des points fixes par $f$ est l'axe $(Oy)$ .

4° D'après les questions 1 et 3, $f$ est la symétrie axiale d'axe $(Oy)$ .

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