Complexes et géométrie/Exercices/Suite de points

Exercice 8-1

Dans le plan complexe $P$ muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {e_{1}}},\,{\vec {e_{2}}})$ , l'unité graphique étant 4 cm, on définit l'application $f$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe

z'=-\mathrm {j} z+\mathrm {i}

, où

\mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2\pi }{3}}}

.

1° Montrez que $f$ admet exactement un point invariant $\Omega$ , dont vous donnerez l’affixe. Caractérisez géométriquement $f$ .

2° On définit dans $P$ la suite $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ par :

{\begin{cases}M_{0}=0\\\forall n\in \mathbb {N} \quad M_{n+1}=f(M_{n})\end{cases}}

a) Construisez

\Omega

,

M_{0}

,

M_{1}

et

M_{2}

.

b) Pour tout entier

n

, on note

z_{n}

l'affixe de

M_{n}

et l'on pose :

Z_{n}=z_{n}-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}

.

Déterminez un nombre complexe

a

tel que, pour tout entier

n

,

Z_{n+1}=aZ_{n}

.

Mettez

a

sous forme trigonométrique et déterminez un entier

p

strictement positif tel que

a^{p}=1

.

c) Calculez

Z_{n}

puis

z_{n}

en fonction de

n

. Calculez

z_{2017}

et placez

M_{2017}

sur le dessin.

Solution

1° $f$ est la rotation d'angle $\arg(-\mathrm {j} )={\frac {2\pi }{3}}-\pi =-{\frac {\pi }{3}}$ et de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega :={\frac {\mathrm {i} }{1+\mathrm {j} }}={\frac {\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{2}}}}{\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{3}}}}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}$ .

2° a)

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

b) D'après la question 1,

a=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {\pi }{3}}}

. Donc

a^{6}=1

.

c)

Z_{n}=a^{n}Z_{0}=-\omega \operatorname {e} ^{-\mathrm {i} {\frac {n\pi }{3}}}=-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {n\pi }{3}}\right)}

donc

z_{n}=\omega +Z_{n}=\omega \left(1-a^{n}\right)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} {\frac {\pi }{6}}}-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {\pi }{6}}-{\frac {n\pi }{3}}\right)}

2017\equiv 1{\bmod {6}}

donc

z_{2017}=z_{1}=\mathrm {i}

et

M_{2017}=M_{1}

.

Exercice 8-2

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ .

1° Soit $T$ la transformation du plan qui, à tout point d'affixe $z$ , associe le point d'affixe $z'={\frac {1}{2}}{\bar {z}}$

a) Montrez que

T

est la composée de deux transformations simples (une homothétie

h

et une réflexion

s

) que l'on précisera.

b) Quelle est la nature de

T\circ T

?

2° On considère la suite de points $(M_{n})$ d'affixes respectives $(z_{n})$ où : ${\begin{cases}z_{0}=1+\mathrm {i} \\\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad z_{n}={\frac {1}{2}}{\overline {z_{n-1}}}.\end{cases}}$

a) Faites une figure (unité 4 cm), et placez-y

M_{0}

,

M_{1}

,

M_{2}

et

M_{3}

.

b) Exprimez, en fonction de

n

,

z_{n}

et les coordonnées

(x_{n},y_{n})

du point

M_{n}

.

c) Calculez

\lim _{n\to \infty }|z_{n}|

. Le point

M_{n}

a-t-il une position limite quand

n

tend vers

+\infty

?

Solution

1° a) $T=h\circ s=s\circ h$ où $h$ est l'homothétie de centre $O$ et de rapport ${\frac {1}{2}}$ et $s$ est la réflexion par rapport à l'axe des abscisses.

b)

T\circ T=h\circ s^{2}\circ h=h\circ \mathrm {id} _{P}\circ h=h^{2}

est l'homothétie de rapport

{\frac {1}{4}}

.

2° a)

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

b) Si

n

est pair,

T^{n}=h^{n}

d'après la question 1°b donc

z_{n}={\frac {1+\mathrm {i} }{2^{n}}}

et

(x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,1)

. Donc si

n

est impair alors

T^{n}=h^{n-1}\circ T

,

z_{n}={\frac {1-\mathrm {i} }{2^{n}}}

et

(x_{n},y_{n})={\frac {1}{2^{n}}}(1,-1)

.

c)

|z_{n}|\to 0

donc

M_{n}\to O

.

Exercice 8-3

On considère, dans le plan complexe, les $n$ points $A_{k}$ , d'affixe $z_{k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\frac {2k\pi }{n}}}\quad (1\leqslant k\leqslant n)$ .

1° Exprimez $z_{k}$ en fonction de $z_{1}$ , pour tout entier $k$ .

2° Déterminez l'ensemble des points $M$ du plan tels que :

\left\|\sum _{k=1}^{n}{\overrightarrow {MA_{k}}}\right\|=n

.

3° Déterminez l’ensemble des points $M$ du plan tels que :

\sum _{k=1}^{n}{MA_{k}}^{2}=2n

.

Solution

1° $z_{k}={z_{1}}^{k}$ .

2° $\sum _{k=1}^{n}z_{k}=z_{1}{\frac {1-{z_{1}}^{n}}{1-z_{1}}}=z_{1}{\frac {0}{1-z_{1}}}=0$ donc

\sum _{k=1}^{n}\left(z_{k}-z\right)=-nz

et l'ensemble cherché est le cercle unité.

3° $\left|z_{k}-z\right|^{2}=1+\left|z\right|^{2}-2\operatorname {Re} \left({\overline {z_{k}}}z\right)$ donc

\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}-z\right|^{2}=n\left(1+|z|^{2}\right)-2\operatorname {Re} \left({\bar {0}}z\right)=n\left(1+|z|^{2}\right)

et l'ensemble des solutions est, à nouveau, le cercle unité.

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