Exercice 4-1

Au point d'affixe ${\displaystyle z}$, on associe le point d'affixe ${\displaystyle z'}$ par une rotation ${\displaystyle f}$ d'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ; on sait que ${\displaystyle f(A)=B}$ où ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ ont pour affixes respectives ${\displaystyle 1+\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle -2+2\mathrm {i} }$.

Exprimez ${\displaystyle z'}$ en fonction de ${\displaystyle z}$.

Exercice 4-2

Les points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ ont pour affixes les nombres complexes ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. En utilisant des rotations d'angle ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ou ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$, déterminez les affixes des points ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ tels que ${\displaystyle ABCD}$ soit un carré de sens direct.

Exercice 4-3

${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que ${\displaystyle AB=6\,{\text{cm}}}$.

On note :

${\displaystyle r_{1}}$ la rotation de centre ${\displaystyle A}$ et d'angle de mesure ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$ ;

${\displaystyle r_{2}}$ la rotation de centre ${\displaystyle B}$ et d'angle de mesure ${\displaystyle -{\frac {2\pi }{3}}}$.

Pour tout point ${\displaystyle M}$ du plan, on note ${\displaystyle M_{1}}$ et ${\displaystyle M_{2}}$ les images respectives de ${\displaystyle M}$ par ${\displaystyle r_{1}}$ et ${\displaystyle r_{2}}$.

1°  ${\displaystyle M}$ étant un point quelconque, construisez les points ${\displaystyle M_{1}}$ et ${\displaystyle M_{2}}$.

2°  Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point ${\displaystyle M}$ du plan, le milieu du segment ${\displaystyle \left[M_{1}M_{2}\right]}$ est un point fixe ${\displaystyle I}$.

On pose ${\displaystyle f=r_{1}\circ r_{2}^{-1}}$ où ${\displaystyle r_{2}^{-1}}$ désigne la transformation réciproque de ${\displaystyle r_{2}}$.

a)  Déterminez ${\displaystyle f(M_{2})}$.

b)  Montrez que ${\displaystyle f}$ est une symétrie centrale.

c)  Déduisez-en que le milieu de ${\displaystyle \left[M_{1}M_{2}\right]}$ est un point fixe ${\displaystyle I}$, que vous placerez sur la figure.

3°  Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormal direct ${\displaystyle (O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})}$ tel que ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ aient pour affixes respectives ${\displaystyle -3}$ et ${\displaystyle 3}$. On note ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ les affixes respectives de ${\displaystyle M_{1}}$ et ${\displaystyle M_{2}}$.

${\displaystyle M}$ est un point du plan, distinct de ${\displaystyle A}$ et de ${\displaystyle B}$, d'affixe ${\displaystyle z}$.

a)  Exprimez ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ en fonction de ${\displaystyle z}$.

Montrez que : ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z}{z_{1}-z}}=\mathrm {i} {\sqrt {3}}{\frac {z-3}{z+3}}}$.

b)  Déduisez-en que :

(1) ${\displaystyle ({\overrightarrow {MM_{1}}},{\overrightarrow {MM_{2}}})\equiv ({\overrightarrow {MA}},\,{\overrightarrow {MB}})+{\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}}$ ;

(2) ${\displaystyle {\frac {MM_{2}}{MM_{1}}}={\sqrt {3}}\,{\frac {MB}{MA}}}$.

c)  Déterminez à l'aide de l'égalité (1) l'ensemble ${\displaystyle \Gamma }$ des points ${\displaystyle M}$ du plan tels que ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M_{1}}$ et ${\displaystyle M_{2}}$ soient alignés.

Construisez ${\displaystyle \Gamma }$ sur la figure de la question 1°.