L'affixe du milieu de ${\displaystyle [AB]}$ vaut :

${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} -2+3\mathrm {i} }{2}}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{2}}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} }$.

${\displaystyle {\begin{aligned}AB&=|b-a|\\&=|(3-2\mathrm {i} )-(1+\mathrm {i} )|\\&=|2-3\mathrm {i} |\\&={\sqrt {2^{2}+(-3)^{2}}}\\&={\sqrt {13}}.\end{aligned}}}$

1. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=B-A=3+\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=C-A=12+4\mathrm {i} }$.

2. ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}=4{\overrightarrow {AB}}}$ donc ${\displaystyle C\in (AB)}$.

3. ${\displaystyle 4{\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {0}}}$ et ${\displaystyle 4-1=3}$ donc ${\displaystyle b={\frac {4}{3}}}$ et ${\displaystyle c=-{\frac {1}{3}}}$.

1. Médiatrice de ${\displaystyle [(0,-6),(4,-1)]}$.

2. Cercle de centre ${\displaystyle \left(-{\frac {7}{2}},{\frac {3}{2}}\right)}$ et de rayon ${\displaystyle 2}$.

${\displaystyle \left({\frac {7}{3}},-{\frac {7}{3}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {65}}}{3}}}$

${\displaystyle (x+7)^{2}+(y-3)^{2}=4(x^{2}+(y+1)^{2})\Leftrightarrow \left(x-{\frac {7}{3}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {7}{3}}\right)^{2}={\frac {260}{9}}}$.

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

• ${\displaystyle |z_{B}-z_{A}|=\left|{\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}-{\frac {6}{2}}\right|={\frac {|-1+7\mathrm {i} |}{2}}={\frac {\sqrt {(-1)^{2}+7^{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {50}}{2}}={\frac {5}{\sqrt {2}}}}$.
• ${\displaystyle |z_{A}-z_{C}|=\left|{\frac {6}{2}}-{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}\right|={\frac {|7+\mathrm {i} |}{2}}={\frac {\sqrt {7^{2}+1^{2}}}{2}}={\frac {5}{\sqrt {2}}}}$.
• ${\displaystyle |z_{C}-z_{B}|=\left|{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}-{\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}\right|=|-3-4\mathrm {i} |={\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$.

${\displaystyle z_{B}-z_{A}={\frac {-1+7\mathrm {i} }{2}}}$ et ${\displaystyle z_{C}-z_{A}={\frac {-7-\mathrm {i} }{2}}=\mathrm {i} (z_{B}-z_{A})}$, donc ABC est rectangle et isocèle en A.

${\displaystyle z_{I}={\frac {z_{B}+z_{C}}{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}+{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}\right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{2}}}$.

D est (par exemple) l'image de I par la translation de vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}$. Son affixe est donc :

${\displaystyle z_{I}+(z_{I}-z_{A})=2z_{I}-z_{A}=2+3\mathrm {i} -3=-1+3\mathrm {i} }$.

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• ${\displaystyle |z_{A}|=|3+3\mathrm {i} |={\sqrt {3^{2}+3^{2}}}=3{\sqrt {2}}}$.
• ${\displaystyle |z_{B}|=\left|{\overline {z_{A}}}\right|=|z_{A}|}$, autrement dit : ${\displaystyle OB=OA}$, ou encore : OAB est isocèle en O.

• ${\displaystyle {\frac {z_{A}}{|z_{A}|}}={\frac {3+3\mathrm {i} }{3{\sqrt {2}}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}}$ donc ${\displaystyle \arg(z_{A})={\frac {\pi }{4}}\mod {2\pi }}$.
• ${\displaystyle \arg(z_{B})=\arg \left({\overline {z_{A}}}\right)=-\arg(z_{A})=-{\frac {\pi }{4}}\mod {2\pi }}$.
• On en déduit que ${\displaystyle ({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})={\frac {\pi }{4}}-\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$. L'angle ${\displaystyle {\widehat {AOB}}}$ est donc un angle droit.

Le triangle OAB est isocèle rectangle en O. Plus précisément et plus directement : ${\displaystyle \mathrm {i} z_{B}=z_{A}}$.

1. ${\displaystyle |z_{A}|=|z_{B}|=8}$ et (mod ${\displaystyle 2\pi }$) ${\displaystyle \arg(z_{A})=0}$ et ${\displaystyle \arg(z_{B})={\frac {\pi }{2}}}$.

${\displaystyle |z_{C}|=|z_{D}|=8\times 4\times {\sqrt {3^{2}+8^{2}}}=32{\sqrt {73}}}$ et (mod ${\displaystyle 2\pi }$) ${\displaystyle \arg(z_{C})=-\arctan(8/3)}$ et ${\displaystyle \arg(z_{D})={\frac {\pi }{2}}+\arctan(8/3)}$.

2. D'après la question 1, les symétriques de A et C par rapport à la première bissectrice sont respectivement B et D, donc les quatre points sont sur un même cercle, dont le centre ${\displaystyle \Omega }$ est sur cet axe. On peut calculer ses coordonnées ${\displaystyle (x,x)}$ en résolvant l'équation ${\displaystyle A\Omega ^{2}=C\Omega ^{2}}$ :

${\displaystyle (x-8)^{2}+x^{2}=(x-8\times 12)^{2}+(x+8\times 32)^{2}\Leftrightarrow -x+4=x(-12+32)+4(12^{2}+32^{2})\Leftrightarrow x=-{\frac {4\times 389}{7}}}$, et le rayon ${\displaystyle r}$ est donc donné par

${\displaystyle r^{2}=A\Omega ^{2}=(x-8)^{2}+x^{2}={\frac {16\times 313730}{49}}}$, soit ${\displaystyle r={\frac {4}{7}}{\sqrt {313730}}}$.

1. ${\displaystyle g={\frac {a+b+c}{3}}}$.

2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur issue de C, c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.

Pour cela, il faut et il suffit que ${\displaystyle {\frac {h-c}{b-a}}}$ soit imaginaire pur.

${\displaystyle {\frac {h-c}{b-a}}={\frac {b+a}{b-a}}={\frac {(b+a)({\bar {b}}-{\bar {a}})}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {a{\bar {b}}-{\bar {a}}b}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {2\mathrm {i} \operatorname {Im} (a{\bar {b}})}{\left|b-a\right|^{2}}}}$.

3. Les trois points sont alignés car ${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}}$.

1. ${\displaystyle (a_{2}-0)=(a_{1}-0)\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}$ donc la forme exponentielle de ${\displaystyle a_{2}}$ est

${\displaystyle a_{2}=a_{1}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}=\left(\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}\right)^{2}=\operatorname {e} ^{2{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}}$

et sa forme algébrique est :

${\displaystyle a_{2}=\cos {\frac {\pi }{6}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}+\mathrm {i} \,{\frac {1}{2}}}$.

2. ${\displaystyle z_{I}={\frac {a_{0}+a_{2}}{2}}={\frac {1+\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}+\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}=\cos {\frac {\pi }{12}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}$.

3. ${\displaystyle {\overrightarrow {OI}}=\cos {\frac {\pi }{12}}\,{\overrightarrow {OA_{1}}}}$ donc ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle I}$ et ${\displaystyle A_{1}}$ sont alignés.

4. D'après les questions 1 et 2 :

${\displaystyle z_{I}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}+\mathrm {i} \,{\frac {1}{2}}\right)}$ ;

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\pi }{12}}=\operatorname {Re} (z_{I})={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {8+4{\sqrt {3}}}{4^{2}}}=\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)^{2}}$ ;

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}\sin {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {Im} (z_{I})={\frac {1}{4}}}$.

On en déduit :

${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$ ;

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {1}{4\cos {\frac {\pi }{12}}}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$.