Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique

Exercice 9-1

Dans le plan orienté, soit $OAB$ un triangle rectangle isocèle de sommet $O$ et d'angle au sommet :

({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})={\frac {\pi }{2}}

.

À partir de chaque point $M$ du segment $[AB]$ , on construit les points $P$ et $Q$ , projetés orthogonaux respectifs de $M$ sur les droites $(OA)$ et $(OB)$ et les points $R$ et $S$ , sommets du carré $PRQS$ de diagonale $[PQ]$ avec :

({\overrightarrow {PR}},{\overrightarrow {PS}})={\frac {\pi }{2}}

.

Déterminer les lieux de $R$ et $S$ lorsque le point $M$ décrit $[AB]$ .

Solution

En notant en minuscules les affixes, on peut supposer $a=1$ , $o=0$ et $b=\mathrm {i}$ . Alors,

p\in [0,1]

,

q=\mathrm {i} \left(1-p\right)

,

q-p=\left(1+\mathrm {i} \right)\left(r-p\right)=\left(1-\mathrm {i} \right)\left(s-p\right)

.

r={\frac {q-p}{1+\mathrm {i} }}+p={\frac {\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}

donc

R

reste au milieu du segment

[A,B]

.

s={\frac {q-p}{1-\mathrm {i} }}+p={\frac {\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\left(1-2p\right)={\frac {-1+\mathrm {i} }{2}}\left(1-2p\right)=p+q-{\frac {1+\mathrm {i} }{2}}

donc

S

parcourt le segment de milieu

O

translaté de

[A,B]

.

Exercice 9-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ . À tout point $M$ d'affixe $Z$ différente de $1$ , on associe le point $M'$ d'affixe :

Z'={\frac {1+Z}{1-Z}}

.

1° Calculez les coordonnées $X'$ et $Y'$ de $M'$ en fonction des coordonnées $X$ et $Y$ de $M$ .

2° Soit $D$ la droite d'équation $x=0$ .

Soit

\Gamma

le cercle de centre

O

et de rayon

1

.

Montrez que, lorsque

M

décrit la droite

D

,

M'

se déplace sur le cercle

\Gamma

.

3° a) Montrer que, lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ privé du point $A$ d'affixe $1$ , $M'$ se déplace sur une droite.

Précisez cette droite.

b) Montrez que si le point

M

est un point de

\Gamma

différent de

A

, alors les points

A

,

M

et

M'

sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de

M'

connaissant

M

.

Solution

1° $Z'={\frac {1+X+\mathrm {i} Y}{1-X-\mathrm {i} Y}}={\frac {\left(1+X+\mathrm {i} Y\right)\left(1-X+\mathrm {i} Y\right)}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}={\frac {\left(1+\mathrm {i} Y\right)^{2}-X^{2}}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}$ donc

X'={\frac {1-X^{2}-Y^{2}}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}

et

Y'={\frac {2Y}{\left(1-X\right)^{2}+Y^{2}}}

.

2° $\left|{\frac {1+0+\mathrm {i} Y}{1-0-\mathrm {i} Y}}\right|=1$ .

3° a) D'après la question 1, $X^{2}+Y^{2}=1\Rightarrow X'=0$ . Donc quand $M\in \Gamma$ , $M'\in D$ .

b) D'après la question 1,

X^{2}+Y^{2}=1\Rightarrow Y=\left(1-X\right)Y'

. Donc quand

M\in \Gamma

,

M=XA+\left(1-X\right)M'

. Dans ce cas,

M'\in D\cap (AM)

.

Exercice 9-3

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$ .

Soit $A$ un point, d'affixe $a\neq 0$ , et soit $ABC$ le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre $O$ , de rayon $OA$ et tel que $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}})={\frac {\pi }{3}}$ .

1° Déterminez, en fonction de $a$ , les affixes $b$ et $c$ des points $B$ et $C$ .

2° Soit $M$ le point d'affixe $z=a^{3}$ .

Déterminez les points

A

tels que

M

est le milieu de

[BC]

.

3° On suppose, dans cette question, que $A$ décrit le cercle de centre le point $I$ d'affixe $\mathrm {i}$ et de rayon $2$ .

Déterminez l’ensemble des points

N

tels que

ABNC

est un losange.

Solution

1° $b=\mathrm {j} a$ et $c=\mathrm {j} ^{2}a$ , avec $\mathrm {j} =\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}$ .

2° $1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}=0$ donc $a^{3}={\frac {\mathrm {j} a+\mathrm {j} ^{2}a}{2}}\Leftrightarrow 2a^{3}=-a\Leftrightarrow a=\pm {\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$ .

3° $n=a+(b-a)+(c-a)=b+c-a=-2a$ donc quand $A$ décrit le cercle de centre $I$ et de rayon $2$ , $N$ décrit celui de centre le point d'affixe $-2\mathrm {i}$ et de rayon $4$ .

Exercice 9-4

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

1° Quels sont le module et l'argument de $z_{0}:={\frac {-1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$ ?

2° Représentez dans le plan, les points $A$ d'affixe $1$ , $M_{0}$ d'affixe $z_{0}+1$ et $M'_{0}$ d'affixe $z_{0}^{2}+2$ .

Montrez que ces trois points sont alignés.

3° Déterminez l'ensemble des points $P$ d'affixe $z$ tels que les points $A$ d'affixe $1$ , $M$ d'affixe $z+1$ et $M'$ d'affixe $z^{2}+2$ sont alignés.

Solution

1° $|z_{0}|=1$ et $\arg z_{0}={\frac {3\pi }{4}}$ .

2°

(z_{0}^{2}+2)-1=1-\mathrm {i} ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left((z_{0}+1)-1\right)

.

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

3° Si $P=O$ alors $M=A$ . Sinon, l'alignement se traduit par ${\frac {(z^{2}+2)-1}{(z+1)-1}}\in \mathbb {R}$ , c'est-à-dire $z+{\frac {1}{z}}\in \mathbb {R}$ . En posant $z=r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ , la condition se réécrit :

r\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }+{\frac {1}{r}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }=r\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta }+{\frac {1}{r}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }

, ou encore :

\left(r-{\frac {1}{r}}\right)\sin \theta =0

.

L'ensemble des solutions est donc l'union du cercle unité et de l'axe réel.

Exercice 9-5

Soient $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , définies par :

f(z)=\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2

et

g(z)=\mathrm {i} {\bar {z}}+2+\mathrm {i}

.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$ .

1° Pour tout point $M(z)$ du plan, on note $M_{1}$ le point d'affixe $f(z)$ et $M_{2}$ celui d'affixe $g(z)$ .

Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble

E

des points

M

tels que

O

,

M_{1}

et

M_{2}

sont alignés

2° Soit $A$ le point d'affixe ${\frac {3}{2}}\left(1-\mathrm {i} \right)$ . Déduisez de la question précédente que $E$ est l’ensemble des points $M$ tels que $2AM^{2}=13$ . Représentez alors $E$ .

3° a) Calculez l'affixe du barycentre $G$ des points $M$ , $M_{1}$ et $M_{2}$ affectés respectivement des coefficients $1$ , $1$ et $-1$ .

b) Montrer que

G

décrit une droite fixe lorsque

M

décrit le plan.

Solution

1° $f(z){\overline {g(z)}}=\left(\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\right)\left(-\mathrm {i} z+2-\mathrm {i} \right)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-3x+3y-2=0$ .

2° $AM^{2}-{\frac {13}{2}}=\left(x-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {13}{2}}=x^{2}-3x+{\frac {9}{4}}+y^{2}+3y+{\frac {9}{4}}-{\frac {13}{2}}=x^{2}+y^{2}-3x+3y+{\frac {9-13}{2}}$ .

3° a) ${\frac {z+f(z)-g(z)}{1+1-1}}=z+(1+\mathrm {i} ){\bar {z}}-2-\mathrm {i} {\bar {z}}-2-\mathrm {i} =z+{\bar {z}}-4-\mathrm {i}$ .

b)

G

décrit la droite d'équation

y=-1

.

Exercice 9-6

Le plan $P$ est muni d'un repère orthonormal d'origine $O$ . Soit $f$ l’application de $P$ dans $P$ qui au point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'=2z+\mathrm {i} z{\bar {z}}$ .

1° Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.

2° Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.

3° Déterminez et construisez l'image du cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

Solution

1° C'est l'ensemble des points d'affixe $2s+\mathrm {i} s^{2}$ avec $s\in \mathbb {R}$ , c'est-à-dire la parabole d'équation $y=\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}$ .

2° C'est l'ensemble des points d'affixe $2\mathrm {i} t+\mathrm {i} t^{2}=\mathrm {i} \left((t+1)^{2}-1\right)$ avec $t\in \mathbb {R}$ , c'est-à-dire la demi-droite d'équation $x=0,y\geq -1$ .

3° C'est le cercle de rayon $2$ centré au point d'affixe $\mathrm {i}$ .

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Exercice 9-7

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ , on note $A$ le point d'affixe $\mathrm {i}$ . À tout point $M$ du plan, distinct de $A$ , on associe le point $M'$ d'affixe $z'={\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}$ .

1° Déterminez les points $M$ tels que $M'=M$ .

2° Déterminez l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ , distincts de $A$ , tels que $M'$ soit sur la droite $(O;{\vec {u}})$ .

3° Soit $z$ un nombre complexe différent de $\mathrm {i}$ :

a) montrez que

z'-\mathrm {i} ={\frac {-1}{z-\mathrm {i} }}

;

b) déterminez le lieu géométrique du point

M'

, lorsque

M

décrit le cercle de centre

A

et de rayon

1

.

Solution

1° $z={\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}\Leftrightarrow z=0$ ou $2\mathrm {i}$ .

2° ${\frac {-y+\mathrm {i} x}{x+\mathrm {i} \left(y-1\right)}}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow x^{2}=-y\left(y-1\right)\Leftrightarrow x^{2}+\left(y-{\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}$ donc $\Gamma$ est le cercle de rayon ${\frac {1}{2}}$ centré au point de coordonnées $\left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ .

3° a) ${\frac {\mathrm {i} z}{z-\mathrm {i} }}-\mathrm {i} ={\frac {\mathrm {i} z-\mathrm {i} z+\mathrm {i} ^{2}}{z-\mathrm {i} }}$ .

b) D'après a), l'image de ce cercle est lui-même.

Exercice 9-8

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct. $P^{*}$ désigne le plan privé de l'origine $O$ ; $a$ est un réel strictement positif.

Soit $T:P^{*}\to P^{*}$ l'application qui à tout point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'={\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z}}$ .

1° a) Prouvez que $T$ est involutive (c'est-à-dire $T\circ T=\mathrm {Id} _{P^{*}}$ ).

b) Cherchez ses points invariants.

2° Prouvez que $M'=T(M)$ équivaut à :

OM\times OM'=a^{2}

et

({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})+({\vec {u}},{\overrightarrow {OM'}})\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}

.

3° Quelle est l'image par $T$ :

a) d'un cercle de centre

O

?

b) d'une droite passant par

O

, privée de

O

?

Solution

1° a) Si $z'={\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z}}$ alors ${\frac {\mathrm {i} a^{2}}{z'}}=z$ .

b)

z^{2}=\mathrm {i} a^{2}\Leftrightarrow z=\pm a\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}

.

2° $zz'=\mathrm {i} a^{2}\Leftrightarrow |z||z'|=a^{2}{\text{ et }}\arg z+\arg z'\equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {2\pi }}$ .

3° D'après la question précédente :

a) l'image du cercle de centre

O

et de rayon

r

est le cercle de centre

O

et de rayon

{\frac {a^{2}}{r}}

;

b) l'image d'une droite passant par

O

(privée de

O

) est sa symétrique par rapport à la droite d'équation

y=x

.

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