Exercice 10-1

Le plan complexe ${\displaystyle P}$ est muni d'un repère orthonormal ${\displaystyle (O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})}$. On prendra 2 cm pour unité graphique.

1°  a)  Résolvez dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$ l'équation ${\displaystyle z^{2}-4z+8=0}$.

b)  Écrivez les solutions ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle z_{2}}$ de cette équation sous forme algébrique et sous forme trigonométrique (${\displaystyle z_{1}}$ est la solution dont la partie imaginaire est positive).

Placez dans ${\displaystyle P}$ les points ${\displaystyle A}$ d'affixe ${\displaystyle z_{1}}$ et ${\displaystyle B}$ d'affixe ${\displaystyle z_{2}}$.

2°  Soit ${\displaystyle f}$ l'application qui à tout point ${\displaystyle M}$ d'affixe ${\displaystyle z\neq 0}$ associe le point ${\displaystyle M'}$ dont l'affixe ${\displaystyle z'}$ est définie par : ${\displaystyle z'{\bar {z}}=1}$.

a)  Déterminez les points ${\displaystyle A'=f(A)}$ et ${\displaystyle B'=f(B)}$. Placez-les sur la figure.

b)  Montrez que pour tout point ${\displaystyle M\neq O}$, les points ${\displaystyle O}$, ${\displaystyle M}$ et ${\displaystyle M'}$ sont alignés et ${\displaystyle OM\times OM'=1}$.

3°  a)  Montrez que pour tout complexe ${\displaystyle z\neq 0}$,

${\displaystyle {\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}=z-2}$

et déduisez-en que ${\displaystyle |z-2|=2}$ si et seulement si ${\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}-z'\right|=|z'|}$.

b)  Soit ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ le cercle passant par ${\displaystyle O}$ et centré au point d'affixe ${\displaystyle 2}$. Soit ${\displaystyle M}$ un point de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, distinct de ${\displaystyle O}$.

Montrer que son image ${\displaystyle M'}$ est située sur une droite ${\displaystyle D}$ dont vous donnerez une équation. Placez ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ et ${\displaystyle D}$ sur la figure.

Solution

1°  a)  ${\displaystyle z^{2}-4z+8=\left(z-2\right)^{2}+4}$ donc les deux solutions sont ${\displaystyle z_{1}=2+2\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle z_{2}=2-2\mathrm {i} ={\overline {z_{1}}}}$.

b)  ${\displaystyle z_{1}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}$ et ${\displaystyle z_{2}=2{\sqrt {2}}\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}}$.

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2°  a)  Les points ${\displaystyle A'}$ et ${\displaystyle B'}$ ont pour affixes respectives : ${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}}}={\frac {1-\mathrm {i} }{4}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{z_{1}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{4}}}$.

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b)  ${\displaystyle {\frac {z'}{z}}={\frac {1}{|z|^{2}}}\in \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle |z||z'|=1}$.

3°  a)  ${\displaystyle {\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}={\frac {1-2{\overline {z'}}}{\overline {z'}}}={\frac {1-{\frac {2}{z}}}{\frac {1}{z}}}=z-2}$ donc

${\displaystyle {\frac {|z-2|}{2}}=\left|{\frac {1-2z'}{2z'}}\right|={\frac {\left|{\frac {1}{2}}-z'\right|}{|z'|}}}$.

b)  D'après la question précédente, ${\displaystyle M'}$ appartient à la médiatrice de ${\displaystyle O}$ et du point d'affixe ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, c'est-à-dire la droite ${\displaystyle D}$ d'équation ${\displaystyle x={\frac {1}{4}}}$.

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Exercice 10-2

Le plan complexe ${\displaystyle P}$ est rapporté au repère orthonormal direct ${\displaystyle (O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})}$. ${\displaystyle A}$ est le point d'affixe ${\displaystyle 2\mathrm {i} }$ et ${\displaystyle P^{*}}$ le plan ${\displaystyle P}$ privé de ${\displaystyle A}$.

À tout point ${\displaystyle M}$ d'affixe ${\displaystyle z\neq 2\mathrm {i} }$, on associe le point ${\displaystyle M'}$ d'affixe ${\displaystyle z'={\frac {2\mathrm {i} z-5}{z-2\mathrm {i} }}}$. On note ${\displaystyle T}$ la transformation : ${\displaystyle M\mapsto M'}$.

1°  Montrez que pour tout point ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle P^{*}}$, le point ${\displaystyle M'}$ est distinct de ${\displaystyle A}$.

2°  Montrez que ${\displaystyle T}$ est une bijection de ${\displaystyle P^{*}}$ sur lui-même et déterminez sa réciproque ${\displaystyle T^{-1}}$.

3°  a)  Montrez qu'un point ${\displaystyle M}$ de ${\displaystyle P^{*}}$ est fixe par ${\displaystyle T}$ si et seulement si son affixe vérifie ${\displaystyle z^{2}-4\mathrm {i} z+5=0}$.

b)  Trouvez le réel ${\displaystyle \alpha }$ tel que ${\displaystyle z^{2}-4\mathrm {i} z+5=(z-2\mathrm {i} )^{2}+\alpha }$, puis montrer que ${\displaystyle T}$ admet deux points fixes.

4°  On note ${\displaystyle D}$ la droite passant par ${\displaystyle O}$ et dirigée par ${\displaystyle {\vec {v}}}$, et ${\displaystyle D^{*}}$ la droite ${\displaystyle D}$ privée de ${\displaystyle A}$.

Montrez que si ${\displaystyle M}$ est un point de ${\displaystyle D^{*}}$, alors son image par ${\displaystyle T}$ est un point de ${\displaystyle D^{*}}$ (on dit que ${\displaystyle D^{*}}$ est « globalement invariante par ${\displaystyle T}$ »).

5°  a)  Montrez que (pour ${\displaystyle z\neq 2\mathrm {i} }$) ${\displaystyle |z'-2\mathrm {i} |\times |z-2\mathrm {i} |=9}$.

b)  En déduire que le cercle de centre ${\displaystyle A}$ et de rayon ${\displaystyle 3}$ est globalement invariant par ${\displaystyle T}$.