Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations

Exercice 3-1

Dans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.

1° Homothétie de rapport $2$ et de centre d'affixe $1+\mathrm {i}$ .

2° Symétrie centrale de centre d'affixe $5+\mathrm {i}$ .

3° Rotation d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ , de centre d'affixe $\mathrm {i}$ .

4° Rotation d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ de centre d'affixe $-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .

Solution

1° $z'=2\left(z-1-\mathrm {i} \right)+1+\mathrm {i} =2z-1-\mathrm {i}$ .

2° $z'=-\left(z-5-\mathrm {i} \right)+5+\mathrm {i} =-z+10+2\mathrm {i}$ .

3° $z'=-\mathrm {i} \left(z-\mathrm {i} \right)+\mathrm {i} =-\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}$ .

4° $z'=\mathrm {j} \left(z-\mathrm {j} \right)+\mathrm {j} =\mathrm {j} z+1+2\mathrm {j} =\left(-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)z+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ .

Exercice 3-2

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z'=\mathrm {i} {\bar {z}}$ .

1° Que pouvez-vous dire de $f$ ? Rechercher les éventuels points invariants.

2° Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ . Si $M$ est un point de coordonnées $(x,y)$ , quelles sont les coordonnées de $s(M)$ ?

Exprimez l'affixe de

s(M)

en fonction de celle de

M

. Concluez sur la nature de

f

.

Solution

$f=s$ .

Exercice 3-3

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est $z'={\bar {z}}+4$ .

1° Prouvez que $f$ est un antidéplacement sans points invariants.

2° Prouvez que $f\circ f$ est une translation dont vous préciserez le vecteur ${\vec {v}}$ .

3° Soit $g=t_{-{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}\circ f$ . Donnez l'écriture complexe de $g$ . Déterminez l'application $g$ .

4° Déduisez de ce qui précède que $f$ est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe $D$ et d'une translation de vecteur ${\vec {u}}$ , ${\vec {u}}$ étant un vecteur directeur de $D$ .

Solution

1° Immédiat.

2° $\left(f\circ f\right)(z)={\overline {{\bar {z}}+4}}+4=z+8$ donc $f\circ f$ est une translation dont le vecteur a pour affixe $8$ .

3° $g(z)=f(z)-4={\bar {z}}$ donc $g$ est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe $D$ des abscisses.

4° $f=t_{{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}\circ g=g\circ t_{{\frac {1}{2}}{\vec {v}}}$ .

Exercice 3-4

Soient $A$ , $B$ , $C$ et $D$ les points d'affixes respectives :

z_{A}={\sqrt {3}}+\mathrm {i} ,\qquad z_{B}=-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}},\qquad z_{C}=-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} \qquad {\text{t}}\qquad z_{D}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}

.

1° Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.

Quelle est la nature du quadrilatère

ABCD

?

2° $f_{1}$ et $f_{2}$ sont les transformations qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associent respectivement les points $M_{1}$ d'affixe $z_{1}=\mathrm {i} z$ et $M_{2}$ d'affixe $z_{2}=z+2\left(1+\mathrm {i} \right)$ .

a) Précisez la nature de

f_{1}

et

f_{2}

.

b) On pose

f=f_{2}\circ f_{1}

. À tout point d'affixe

z

,

f

associe le point d'affixe

z'

. Calculez

z'

en fonction de

z

.

c) Placez, sans calculer leurs affixes, les images

A'

,

B'

,

C'

et

D'

par

f

des points

A

,

B

,

C

et

D

.

Solution

1° $z_{A}=2\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}$ , $z_{B}=\mathrm {i} z_{A}=2\operatorname {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}$ , $z_{C}=-z_{A}=2\operatorname {e} ^{-{\frac {5\mathrm {i} \pi }{6}}}$ et $z_{D}=-\mathrm {i} z_{A}=2\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$ . $ABCD$ est un carré de centre $O$ .

2° a) $f_{1}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ; $f_{2}$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $2\left(1+\mathrm {i} \right)$ .

b)

z'=\mathrm {i} z+2\left(1+\mathrm {i} \right)

c)

A'B'C'D'

est le carré translaté par

f_{2}

de

BCDA

.

Exercice 3-5

Soit $S$ la transformation dont l'écriture complexe est

z'=\left(-3+4\mathrm {i} \right){\bar {z}}+4-10\mathrm {i}

.

1° Démontrer que $S$ possède un point invariant $\Omega$ que vous préciserez.

2° Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $5$ .

Démontrez qu'il existe une application

\sigma

telle que

S=h\circ \sigma =\sigma \circ h

et caractérisez l'application

\sigma

.

Solution

1° La solution de $\omega =x+\mathrm {i} y=\left(-3+4\mathrm {i} \right)\left(x-\mathrm {i} y\right)+4-10\mathrm {i} =\left(-3x+4y+4\right)+\mathrm {i} \left(4x+3y-10\right)$ est $\omega =2+\mathrm {i}$ .

2° $z'-\omega =\left(-3+4\mathrm {i} \right){\overline {\left(z-\omega \right)}}$ donc $S=h\circ \sigma =\sigma \circ h$ où $\sigma$ a pour écriture complexe $z'-\omega ={\frac {-3+4\mathrm {i} }{5}}{\overline {\left(z-\omega \right)}}$ , ou encore : ${\frac {z'-\omega }{1+2\mathrm {i} }}={\overline {\left({\frac {z-\omega }{1+2\mathrm {i} }}\right)}}$ . C'est donc la symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par $\Omega$ et de pente $2$ .

Exercice 3-6

Soient $\theta \in \left[0,\pi \right[$ et $f_{\theta }$ l'application qui associe, à tout point d'affixe $z$ , le point d'affixe $z'=\left(1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }\right){\bar {z}}+c$ , où $c$ est un nombre complexe fixé.

1° Démontrez qu'il existe deux valeurs $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ de $\theta$ pour lesquelles $f_{\theta }$ est une isométrie.

2° Démontrez que $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est une rotation dont vous préciserez l'angle.

Solution

1° $1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }=2\cos \theta \operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ est de module $1$ lorsque $\cos \theta =\pm {\frac {1}{2}}$ . Les deux solutions sont $\theta _{1}={\frac {\pi }{3}}$ et $\theta _{2}={\frac {2\pi }{3}}$ .

2° L'écriture complexe de $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a=\left(1+\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta _{2}}\right)\left(1+\operatorname {e} ^{-2\mathrm {i} \theta _{1}}\right)=-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} \theta _{1}}=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {\pi }{3}}-\pi \right)}=\operatorname {e} ^{-{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}}$ donc $f_{\theta _{2}}\circ f_{\theta _{1}}$ est une rotation d'angle $-{\frac {2\pi }{3}}$ .

Exercice 3-7

Soient $f,g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ définies par :

f(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z

et

g(z)=z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}

.

On note $F$ et $G$ les transformation du plan complexe associées.

1° Précisez la nature de $F$ , $G$ , $F\circ G$ et $G\circ F$ et donnez leurs éléments caractéristiques.

2° En comparant $(f\circ g)(z)$ et $(g\circ f)(z)$ , déterminez l'application du plan qui transforme $(F\circ G)(M)$ en $(G\circ F)(M)$ .

Solution

1° $F$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $-{\frac {\pi }{3}}$ .

G

est la translation dont le vecteur a pour affixe

1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}

.

F\circ G

et

G\circ F

sont donc des rotations d'angle

-{\frac {\pi }{3}}

.

\left(f\circ g\right)(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+2

donc le centre de

F\circ G

a pour affixe

{\frac {2}{1-{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}=1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}

.

\left(g\circ f\right)(z)={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}

donc le centre de

G\circ F

a pour affixe

{\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-{\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}=2

.

2° L'application qui transforme $(F\circ G)(M)$ en $(G\circ F)(M)$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2=-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ .

Exercice 3-8

1° Soit $T$ la transformation du plan qui, au point $M$ de coordonnées $(x,y)$ , associe le point $M'$ de coordonnées

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y+{\sqrt {3}}.\end{cases}}

Le point

M

a pour affixe

z=x+\mathrm {i} y

et

M'

a pour affixe

z'=x'+\mathrm {i} y'

.

Exprimez

z'

en fonction de

z

. Précisez la nature de

T

.

2° Soit $S$ la transformation qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M_{1}$ d'affixe $z_{1}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z$ .

Précisez la nature et les éléments caractéristiques de

S

.

3° Soit $f$ la transformation $S\circ T$ .

À tout point

M

d'affixe

z=x+\mathrm {i} y

,

f

associe le point

M_{2}

d'affixe

z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}

.

a) Exprimez

z_{2}

en fonction de

z

, puis

x_{2}

et

y_{2}

en fonction de

x

et

y

.

b) Quelle est l'image par

f

du point

C\left(-1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)

?

c) Montrez que

f

est une rotation de centre

C

et précisez son angle.

Solution

1° $z'=x+1+\mathrm {i} \left(y+{\sqrt {3}}\right)=z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ donc $T$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}$ .

2° $S$ est la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {2\pi }{3}}$ .

3° a) $z_{2}={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z+1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z-2$ donc $x_{2}={\frac {-x-y{\sqrt {3}}}{2}}-2$ et $y_{2}={\frac {-y+x{\sqrt {3}}}{2}}$ .

b)

{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(-1-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}\right)-2=-1-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}

donc

f(C)=C

.

c) D'après 2°,

f

est une rotation d'angle

{\frac {2\pi }{3}}

. D'après la question précédente, son centre est

C

.

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