Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations

Exercice 2-1

$ABCD$ est un carré de sens direct, $\left({\vec {AB}},{\vec {AD}}\right)={\frac {\pi }{2}}$ .

$r$ est la rotation de centre $A$ , d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ .

$t$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {AC}}$ .

$s$ est la symétrie de centre $C$ .

1° Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations $f=t\circ r$ , $g=s\circ t\circ r$ , $h=f\circ g$ .

2° a) Donner les écritures complexes de $f$ et $g$ dans un repère orthonormal que vous préciserez.

b) Quels sont les points

M

tels que

f(M)=g(M)

?

Solution

Dans le repère $\left(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}}\right)$ considéré comme orthonormal, les écritures complexes des applications considérées sont :

r(z)=\mathrm {i} z

;

t(z)=z+1+\mathrm {i}

;

s(z)=-z+2(1+\mathrm {i} )

;

f(z)=\mathrm {i} z+1+\mathrm {i}

;

g(z)=s(f(z))=-(\mathrm {i} z+1+\mathrm {i} )+2(1+\mathrm {i} )=-\mathrm {i} z+1+\mathrm {i}

;

h(z)=\mathrm {i} (-\mathrm {i} z+1+\mathrm {i} )+1+\mathrm {i} =z+2\mathrm {i}

donc :

f

est la rotation d'angle

{\frac {\pi }{2}}

et de centre le point d'affixe

{\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=\mathrm {i}

, c'est-à-dire le point

D

;

g

est la rotation d'angle

-{\frac {\pi }{2}}

et de centre le point d'affixe

{\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=1

, c'est-à-dire le point

B

;

h

est la translation de vecteur

2{\overrightarrow {AC}}

(donc

h=t\circ t

).

f(M)=g(M)\Leftrightarrow f(M)=s(f(M))\Leftrightarrow f(M)=C\Leftrightarrow M=f^{-1}(C)\Leftrightarrow M=A

.

Exercice 2-2

1° Soit $S$ la transformation qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'=-z+2\mathrm {i}$ . Prouvez que $S$ est une symétrie centrale et précisez son centre.

2° Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ .

Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations

R\circ S

et

S\circ R

.

Solution

1° $z'=-z+2\mathrm {i} \Leftrightarrow z'-\mathrm {i} =-(z-\mathrm {i} )$ donc $S$ est la symétrie de centre le point d'affixe $\mathrm {i}$ .

2° $R\circ S$ et $S\circ R$ sont deux rotations d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ .

La première a pour centre le point dont l'affixe

u

vérifie

u=\mathrm {i} (-u+2\mathrm {i} )

, c'est-à-dire

u={\frac {-2}{1+\mathrm {i} }}=-1+\mathrm {i}

.

La seconde a pour centre le point dont l'affixe

v

vérifie

v=-\mathrm {i} v+2\mathrm {i}

, c'est-à-dire

v={\frac {2\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=1+\mathrm {i}

.

Exercice 2-3

Soit $\left(O,{\vec {u}},{\vec {v}}\right)$ un repère orthonormal direct du plan complexe.

1° Donnez l'écriture complexe de $f$ , symétrie axiale d'axe la droite d'équation $y=x$ .

2° Quelles sont les écriture complexe de $g$ , symétrie axiale d'axe la droite de repère $\left(O,{\vec {u}}\right)$ et de $h$ , symétrie axiale d'axe la droite de repère $\left(O,{\vec {v}}\right)$ ?

3° Déterminez, grâce à ces écritures complexes, les applications $h\circ g$ , $f\circ g$ et $h\circ f$ .

Solution

1° $f(z)=a{\bar {z}}+b$ et $f$ fixe $0$ et $1+\mathrm {i}$ , donc $b=0$ et $a=\mathrm {i}$ .

2° $g(z)={\bar {z}}$ et $h(z)=-{\bar {z}}$ .

3° $(h\circ g)(z)=-z$ (symétrie centrale de centre $O$ ).

(f\circ g)(z)=\mathrm {i} z

(rotation d'angle

{\frac {\pi }{2}}

et de centre

O

).

(h\circ f)(z)=-{\overline {\left(\mathrm {i} {\bar {z}}\right)}}=\mathrm {i} z=(f\circ g)(z)

(on pouvait aussi le déduire des deux lignes précédentes en remarquant que

h\circ f=h\circ g\circ g\circ f=(h\circ g)\circ (f\circ g)^{-1}

).

Exercice 2-4

1° Soit $r$ la transformation du plan qui, au point $M$ d'affixe $z$ , associe le point $M'$ d'affixe $z'=\mathrm {i} z-2\mathrm {i}$ .

a) Montrez que

r

admet un unique point invariant

\Omega

. On notera

\omega

son affixe.

b) Montrer que

z'=\mathrm {i} z-2\mathrm {i}

, équivaut à

z'-\omega =\mathrm {i} \left(z-\omega \right)

.

c) Montrer que, pour tout

M

distinct de

\Omega

,

M'=r(M)

équivaut à

\left(\Omega M'=\Omega M\quad {\text{et}}\quad ({\overrightarrow {\Omega M}},{\overrightarrow {\Omega M'}})={\frac {\pi }{2}}\right)

.

En déduire la nature de

r

.

2° Soit $t$ la transformation qui au point $M(z)$ associe le point $M'$ d'affixe $z+2$ . Quelle est la nature de $t$ ?

3° Déterminez l'écriture complexe de la transformation $f:=r\circ t$ puis préciser sa nature.

4° Précisez la nature de $g:=t\circ r$ .

Solution

1° a) $\omega =\mathrm {i} \omega -2\mathrm {i} \Leftrightarrow \omega ={\frac {-2\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\Leftrightarrow \omega =1-\mathrm {i}$ .

b)

\mathrm {i} z-2\mathrm {i} =\mathrm {i} z+\omega \left(1-\mathrm {i} \right)=\mathrm {i} \left(z-\omega \right)+\omega

.

c) Si

z\neq \omega

alors

z'-\omega =\mathrm {i} \left(z-\omega \right)\Leftrightarrow {\frac {z'-\omega }{z-\omega }}=\mathrm {i} \Leftrightarrow {\frac {\left|z'-\omega \right|}{\left|z-\omega \right|}}=1{\text{ et }}\arg \left(z'-\omega \right)-\arg \left(z-\omega \right)={\frac {\pi }{2}}

.

r

est la rotation de centre

\Omega

et d'angle

{\frac {\pi }{2}}

.

2° $t$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $2$ .

3° $f(z)=\mathrm {i} \,t(z)-2\mathrm {i} =\mathrm {i} \left(z+2\right)-2\mathrm {i} =\mathrm {i} z$ donc $f$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre $O$ (le point d'affixe $0$ ).

4° $g(z)=r(z)+2=\mathrm {i} z-2\mathrm {i} +2$ donc $g$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {-2\mathrm {i} +2}{1-\mathrm {i} }}=-2$ (le point $t^{-1}(O)$ ).

Exercice 2-5

Soient $B$ , $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $\mathrm {i}$ , $-1$ et $-\mathrm {i}$ . On note :

R_{1}

la rotation de centre

D

et d'angle

{\frac {\pi }{2}}

;

R_{2}

la rotation de centre

B

et d'angle

\pi

;

R_{3}

la rotation de centre

C

et d'angle

{\frac {\pi }{2}}

.

1° Donnez les écritures complexes de ces trois rotations.

2° Déduisez-en l'écriture complexe de $T:=R_{1}\circ R_{2}\circ R_{3}$ , puis la nature précise de $T$ .

3° Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\varphi :=R_{3}\circ T$ .

Solution

1° $r_{1}(z)-d=\mathrm {i} \left(z-d\right)$ avec $d=-\mathrm {i}$ donc $r_{1}(z)=\mathrm {i} \left(z+\mathrm {i} \right)-\mathrm {i} =\mathrm {i} z-1-\mathrm {i}$ .

r_{2}(z)-b=-\left(z-b\right)

avec

b=\mathrm {i}

donc

r_{2}(z)=-\left(z-\mathrm {i} \right)+\mathrm {i} =-z+2\mathrm {i}

.

r_{3}(z)-c=\mathrm {i} \left(z-c\right)

avec

c=-1

donc

r_{3}(z)=\mathrm {i} \left(z+1\right)+1=\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}

.

2° $(r_{1}\circ r_{2}\circ r_{3})(z)=\mathrm {i} \left[-\left(\mathrm {i} z-1+\mathrm {i} \right)+2\mathrm {i} \right]-1-\mathrm {i} =z+\mathrm {i} +1-2-1-\mathrm {i} =z-2$ donc $T$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $-2$ .

3° $(r_{3}\circ t)(z)=\mathrm {i} \left(z-2\right)-1+\mathrm {i} =\mathrm {i} z-1-\mathrm {i}$ donc $\varphi$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {-1-\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}$ .

Exercice 2-6

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est :

z'={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\,{\bar {z}}+{\frac {-3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}

.

1° Soit $S$ la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Prouvez que $R:=S\circ f$ est une rotation dont vous préciserez le centre et l’angle.

2° Déduisez-en que $f$ est une réflexion et précisez son axe.

Solution

1° $(S\circ f)(z)={\overline {f(z)}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+{\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$ , or ${\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$ , donc

R

est la rotation d'angle

-{\frac {\pi }{3}}

et dont le centre

\Omega

a pour affixe

{\frac {\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}{1-{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}={\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}=-1

2° Comme $\Omega$ est fixe par $S$ et $R$ , il est fixe par l'antidéplacement $f=S\circ R$ , qui est donc une réflexion dont l'axe contient $\Omega$ .

Plus précisément, cet axe a pour équation

x+\mathrm {i} y={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(x-\mathrm {i} y\right)+{\frac {-3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}

, c'est-à-dire

y=(x+1){\sqrt {3}}

.

Exercice 2-7

On désigne par $S$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x,y)$ associe le point $M'$ de coordonnées :

{\begin{cases}x'=x+y-2\\y'=-x+y+4.\end{cases}}

1° On note $z$ l’affixe de $M$ et $z'$ celle du point $M'=S(M)$ . Exprimez $z'$ en fonction de $z$ .

2° a) Montrer que $S$ a un unique point fixe $\Omega$ et déterminer son affixe.

b) Quelle est la nature de

S

? Préciser.

3° Soit $h$ l’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ . Préciser la nature de $h\circ S$ .

4° Soient $A$ le point d'affixe $2$ et $B$ celui d'affixe $6$ .

a) Déterminer l'affixe du point

A'=S(A)

et celle du point

B

tel que

S(B)=B'

.

b) Déterminer les réels

\alpha

et

\beta

tels que

\Omega

soit le barycentre du système pondéré

\{(A,\,\alpha ),\,(A',\,\beta ),\,(B,\,1),\,(B',\,2)\}

.

Solution

1° En remplaçant $x$ par ${\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ et $y$ par ${\frac {z-{\bar {z}}}{2\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} \left({\bar {z}}-z\right)}{2}}$ dans $\left(x+y-2\right)+\mathrm {i} \left(-x+y+4\right)$ , on trouve $z'=\left(1-\mathrm {i} \right)z-2+4\mathrm {i}$ .

2° a) $\omega ={\frac {-2+4\mathrm {i} }{1-\left(1-\mathrm {i} \right)}}=4+2\mathrm {i}$ .

b)

S

est la similitude directe de centre

\Omega

, de rapport

\left|1-\mathrm {i} \right|={\sqrt {2}}

et d'angle

\arg \left(1-\mathrm {i} \right)=-{\frac {\pi }{4}}

.

3° $h\circ S$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$ .

4° a) $a'=2\left(1-\mathrm {i} \right)-2+4\mathrm {i} =2\mathrm {i}$ et $b'={\frac {6+2-4\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=2\left(2-\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)=6+2\mathrm {i}$ .

b)

\alpha +\beta +1+2\neq 0

(qu'on vérifie à la fin) et

{\begin{aligned}\left(\alpha +\beta +1+2\right)\omega =\alpha a+\beta a'+b+2b'&\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta +3\right)\left(4+2\mathrm {i} \right)=2\alpha +2\beta \mathrm {i} +6+12+4\mathrm {i} \\&\Leftrightarrow 4\left(\alpha +\beta +3\right)=2\alpha +18,\quad 2\left(\alpha +\beta +3\right)=2\beta +4\\&\Leftrightarrow 2\left(\alpha +\beta +3\right)=2\beta +4=\alpha +9\\&\Leftrightarrow \alpha =-1,\quad \beta =2.\end{aligned}}

Exercice 2-8

Soient $S_{1},S_{2},S_{3}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ définies par :

{\begin{cases}S_{1}(z)&=-\mathrm {i} z+1+3\mathrm {i} \\S_{2}(z)&=\mathrm {i} z+3-\mathrm {i} \\S_{3}&=S_{1}\circ S_{1}.\end{cases}}

1° Vérifiez que $S_{3}=S_{2}\circ S_{2}$ .

2° Caractérisez géométriquement les transformations du plan représentées par $S_{1},S_{2},S_{3}$ .

Solution

1° $S_{3}(z)=-\mathrm {i} \left(-\mathrm {i} z+1+3\mathrm {i} \right)+1+3\mathrm {i} =-z+4+2\mathrm {i}$ .

{S_{2}}^{2}(z)=\mathrm {i} \left(\mathrm {i} z+3-\mathrm {i} \right)+3-\mathrm {i} =-z+4+2\mathrm {i}

.

2° $S_{1}$ représente la rotation d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et dont le centre a pour affixe ${\frac {1+3\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=2+\mathrm {i}$ .

S_{2}

représente la rotation d'angle

{\frac {\pi }{2}}

et dont le centre a pour affixe

{\frac {3-\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=2+\mathrm {i}

.

S_{3}

représente la rotation d'angle

-\pi \,(\equiv \pi {\bmod {2\pi }})

et de même centre.

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