1°  On a ${\displaystyle z_{C}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{2}}z_{D}=\mathrm {i} \times 2\mathrm {i} =-2}$.

2°  (En attente de graphique)

3°  :a)  ${\displaystyle {\frac {z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+2}}={\frac {(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})^{2}}{(3+\mathrm {i} {\sqrt {3}})(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {6-6\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{12}}={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}}$,

c'est-à-dire que l'angle défini par le couple de vecteurs ${\displaystyle ({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}})}$ est ${\displaystyle -{\frac {\pi }{3}}}$ et que ${\displaystyle CA=CB}$.

b)  Le triangle est donc équilatéral.

c)  Par conséquent, le centre de son cercle circonscrit est son centre de gravité ${\displaystyle G}$ (on rappelle que les droites remarquables (médianes, médiatrices…) sont confondues).

L'affixe de ${\displaystyle G}$ est ${\displaystyle {\frac {z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2}{3}}=0}$ donc ${\displaystyle G=O}$.

Le rayon du cercle circonscrit est ${\displaystyle OC=|z_{C}|=2}$.

4°  a)  ${\displaystyle r}$ fixe son centre ${\displaystyle B}$ et (d'après les questions 3.a et 3.b) envoie ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle C}$, donc ${\displaystyle z_{B'}=z_{B}}$ et ${\displaystyle z_{A'}=z_{C}}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{C'}&=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{C}-z_{B})+z_{B}\\&={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(-2-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\\&=-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

On peut remarquer que l’image ${\displaystyle (A'B'C')=(CBC')}$ du triangle équilatéral ${\displaystyle (ABC)}$ par la rotation ${\displaystyle r}$ reste un triangle équilatéral.

b)  L'image d’un cercle par une rotation est un cercle de même rayon. L’image de ${\displaystyle \Gamma }$ par la rotation ${\displaystyle r}$ est donc le cercle de rayon ${\displaystyle 2}$ et de centre le point d'affixe

${\displaystyle \operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\dots }$, ou plus simplement : ${\displaystyle {\frac {z_{A'}+z_{B'}+z_{C'}}{3}}={\frac {-2+1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}-2-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{3}}=-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$.

c)  L’image réciproque de ${\displaystyle \Gamma }$ par ${\displaystyle r}$ est égale à son image directe par ${\displaystyle r^{-1}}$, c'est-à-dire le cercle de rayon ${\displaystyle 2}$ et de centre le point d'affixe

${\displaystyle \operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}(z_{O}-z_{B})+z_{B}=\left({\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}-1\right)(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}=2}$.