Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation

Soit $f:\mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$ définie par :

f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}

.

Dans le plan complexe $P$ , on associe à tout complexe $z$ le point $M$ d'affixe $z$ . Le point d'affixe $0$ est noté $O$ .

On note $M'$ le point d'affixe $z'=f(z)$ . À la fonction $f:z\mapsto z'$ , on associe alors la fonction $F:P^{*}\to P^{*},\,M(z)\mapsto M'(z')$ , où $P^{*}$ désigne le plan privé de $O$ .

1° Sans calcul de coordonnées, en n'utilisant que les résultats connus sur les inverses et les conjugués :

a) montrer que l'axe réel (privé de

O

) est globalement invariant par

F

, c'est-à-dire que

F

transforme tout point de cet axe en un point de cet axe ;

b) déterminer l'ensemble des points invariants par

F

;

c) montrer que

z

et

z'

ont mêmes arguments, puis en déduire que

O

,

M

et

M'

sont alignés et que toute droite qui passe par

O

est (privée de

O

) globalement invariante par

F

;

d) montrer que

OM\times OM'=1

et en déduire que l'image par

F

d'un cercle de centre

O

est un cercle de centre

O

;

e) vérifier que

F

est une involution (c'est-à-dire

F\circ F=\mathrm {Id} _{P^{*}}

).

2° Soit $C$ un cercle de rayon $r$ , centré en un point $\Omega$ d'affixe $\omega$ .

a) Démontrer que (si

z'=f(z)

)

|z'|^{2}|z-\omega |^{2}=1-2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})+|z'|^{2}|\omega |^{2}

et en déduire que

F(C)

est l'ensemble des points dont l'affixe

z'

vérifie :

\lambda |z'|^{2}+2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})=1

, où

\lambda

désigne le réel

r^{2}-|\omega |^{2}

.

b) En déduire que si

O\in C

alors

F(C)

est la médiatrice de

[O\Omega ']

, où

\Omega '

est le point

F(\Omega )

.

c) En déduire, en utilisant 1° e), que l'image d'une droite qui ne passe pas par

O

est un cercle passant par

O

, dont on précisera géométriquement le centre.

d) Déduire également de a) que si

O\notin C

alors

F(C)

est un cercle — ne passant pas par

O

, d'après b) et 1° e) — dont on calculera l'affixe du centre et le rayon.

Corrigé

1° a) $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}\quad f(x)={\frac {1}{x}}\in \mathbb {R} ^{*}$ .

b) L'ensemble des points invariants par

F

est le cercle unité.

c)

\arg z'=-\arg {\bar {z}}=\arg z

donc

M'\in (OM)

. Donc toute droite qui passe par

O

est (privée de

O

) globalement invariante par

F

.

d)

OM\times OM'=|zz'|={\frac {|z|}{|{\bar {z}}|}}=1

donc l'image par

F

du cercle de centre

O

et de rayon

r

est le cercle de centre

O

et de rayon

{\frac {1}{r}}

.

e) Si

z'{\bar {z}}=1

alors

z{\overline {z'}}=1

. Donc si

M'=F(M)

alors

M=F(M')

.

2° a) $|z'|^{2}|z-\omega |^{2}=|z'({\overline {z-\omega }})|^{2}=|1-z'{\bar {\omega }}|^{2}=1-2\operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})+|z'|^{2}|\omega |^{2}$ . La caractérisation de $F(C)$ s'ensuit.

b) Si

O\in C

, c'est-à-dire si

\lambda =0

alors, en notant

\Omega '=F(\Omega )\in (O\Omega )

,

I

le milieu de

[O\Omega ']

et

z_{0}={\frac {1}{2{\overline {\omega }}}}

son affixe :

M'\in F(C)\Leftrightarrow \operatorname {Re} (z'{\bar {\omega }})={\frac {1}{2}}\Leftrightarrow \operatorname {Re} \left(\left(z'-z_{0}\right){\bar {\omega }}\right)=0\Leftrightarrow {\overrightarrow {IM'}}\perp {\overrightarrow {O\Omega }}\Leftrightarrow {\overrightarrow {IM'}}\perp {\overrightarrow {O\Omega '}}

.

F(C)

est donc la médiatrice de

[O\Omega ']

.

c) Soit

D

une droite ne passant pas par

O

. Soit

\Omega '

le symétrique de

O

par rapport à

D

. D'après b) et 1° e),

F(D)

est le cercle passant par

O

et de centre

F(\Omega ')

.

d) Si

O\notin C

alors

\lambda \neq 0

et

M'\in F(C)\Leftrightarrow |z'|^{2}+2\operatorname {Re} \left(z'{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}\right)={\frac {1}{\lambda }}\Leftrightarrow \left|z'+{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}\right|^{2}={\frac {1}{\lambda }}+{\frac {|\omega |^{2}}{\lambda ^{2}}}

.

F(C)

est donc le cercle dont le centre a pour affixe

-{\frac {\bar {\omega }}{\lambda }}

et dont le rayon est égal à

{\sqrt {{\frac {1}{\lambda }}+{\frac {|\omega |^{2}}{\lambda ^{2}}}}}={\frac {r}{|\lambda |}}

.

Note : $F$ est appelée l'inversion de pôle $O$ et de puissance $1$ .

De manière générale, l'inversion de pôle un point $O$ et de puissance $k$ , fait correspondre, à chaque point $M$ distinct de $O$ , le point $M'$ de la droite $(OM)$ tel que :

{\overrightarrow {OM}}.{\overrightarrow {OM'}}=k

.

Voir aussi :

Arnaud Bodin, « L'inversion », sur Université Lille-I, 2012
Arnaud Bodin, « Exercices – L'inversion », sur Université Lille-I, 2012

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