Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une similitude indirecte

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},{\vec {v}})$ d'unité graphique 2 cm.

On note $A$ le point d'affixe $a=-2\mathrm {i}$ .

À tout point $M$ du plan d'affixe $z$ on associe le point $M'$ d'affixe :

z'=-2{\bar {z}}+2\mathrm {i}

.

1° On considère le point $B$ d'affixe $b=3-2\mathrm {i}$ .

a) Déterminer la forme algébrique des affixes

a'

et

b'

des points

A'

et

B'

associés respectivement aux points

A

et

B

.

b) Placer les points

A

,

B

,

A'

et

B'

.

2° Démontrer que si $M$ appartient à la droite $D$ d'équation $y=-2$ , alors $M'$ appartient aussi à $D$ .

3° a) Démontrer que pour tout $z$ , $|z'+2\mathrm {i} |=2|z+2\mathrm {i} |$ .

b) Interpréter géométriquement cette égalité.

4° Dans cette question, on considère $c=4+2\mathrm {i}$ .

a) Déterminer un argument de

c+2\mathrm {i}

et en donner une interprétation géométrique.

b) Déterminer un argument de

c'+2\mathrm {i}

et en donner une interprétation géométrique.

c) Placer

C

et

C'

, les points associés respectivement à

c

et

c'

. Tracer les demi-droites

[AC)

et

[AC')

.

5° On se place à nouveau dans le cas général. On note $\theta$ un argument de $z+2\mathrm {i}$ .

a) Démontrer que

(z+2\mathrm {i} )(z'+2\mathrm {i} )

est un réel négatif ou nul.

b) En déduire un argument de

z'+2\mathrm {i}

en fonction de

\theta

.

c) Que peut-on en déduire pour les demi-droites

[AM)

et

[AM')

?

d) Proposer une construction géométrique du point

M'

associé au point

M

.

Corrigé

1° a) $a'=-2\mathrm {i}$ et $b'=-6-2\mathrm {i}$ .

b)

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2° $-2({\overline {x-2\mathrm {i} }})+2\mathrm {i} =-2x-2\mathrm {i}$ .

3° a) $|z'+2\mathrm {i} |=|-2{\bar {z}}+4\mathrm {i} |=|-2z-4\mathrm {i} |=2|z+2\mathrm {i} |$ .

b) L'application

M\mapsto M'

double la distance au point

A

.

4° a) $\arg \left(c+2\mathrm {i} \right)=\arg \left(4+4\mathrm {i} \right)\equiv {\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ . La demi-droite $[AC)$ fait un angle de ${\frac {\pi }{4}}$ avec l'axe orienté $(O;{\vec {u}})$ .

b)

\arg \left(c'+2\mathrm {i} \right)=\arg \left(-8+8\mathrm {i} \right)\equiv {\frac {3\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}

. La demi-droite

[AC')

fait un angle de

{\frac {3\pi }{4}}

avec l'axe orienté

(O;{\vec {u}})

.

c)

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5° a) $(z+2\mathrm {i} )(z'+2\mathrm {i} )=-2|z+2\mathrm {i} |^{2}$

b)

\theta '\equiv \pi -\theta {\pmod {2\pi }}

.

c) Les demi-droites

[AM)

et

[AM')

sont symétriques par rapport à

D

.

d) Sur la demi-droite symétrique de

[AM)

par rapport à

D

, placer

M'

à distance

2AM

de

A

.

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