Calcul littéral/Exercices/Factorisation

Exercice 3-1

Factoriser les expressions suivantes :

Solution

$ab+ac+ad=a\left(b+c+d\right)$ ;
$a^{2}b^{3}+ab^{4}+a^{3}b^{2}=ab^{2}\left(ab+b^{2}+a^{2}\right)$ ;
$6a^{3}b^{2}c^{4}-2a^{2}b^{2}c+4ab^{3}c^{2}+2ab^{2}c=2ab^{2}c\left(3a^{2}c^{3}-a+2bc+1\right)$ .

Factoriser les expressions suivantes :

$ab\left(c+1\right)-2ac\left(c+1\right)+bc\left(c+1\right)$ ;
$3a^{3}\left(a-3\right)+a^{2}b\left(a-3\right){\sqrt {3}}-a^{5}b^{5}\left(a-3\right){\sqrt {6}}$ ;
$2ab\left(d-3\right)-db\left(d-3\right)^{2}+b\left(d-3\right)$ .

Solution

$ab\left(c+1\right)-2ac\left(c+1\right)+bc\left(c+1\right)=\left(ab-2ac+bc\right)\left(c+1\right)$ ;
$3a^{3}\left(a-3\right)+a^{2}b\left(a-3\right){\sqrt {3}}-a^{5}b^{5}\left(a-3\right){\sqrt {6}}=\left(3a+b{\sqrt {3}}-a^{3}b^{5}{\sqrt {6}}\right)a^{2}\left(a-3\right)$ ;
$2ab\left(d-3\right)-db\left(d-3\right)^{2}+b\left(d-3\right)=\left(2a-d\left(d-3\right)+1\right)b\left(d-3\right)$ .

Factoriser les expressions suivantes :

${\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {12a^{3}x^{5}}{15b^{2}}}+{\frac {6a^{4}x}{10b^{3}}}$ ;
${\frac {2abc}{\left(a-b\right)^{2}}}-{\frac {4ab^{2}}{a-b}}+{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a-b}}$ ;
${\frac {2ab}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}+{\frac {2ac}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}}-{\frac {6bc}{\left(a-c\right)^{2}}}$ .

Solution

${\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {12a^{3}x^{5}}{15b^{2}}}+{\frac {6a^{4}x}{10b^{3}}}={\frac {3a^{2}x}{5b}}-{\frac {4a^{3}x^{5}}{5b^{2}}}+{\frac {3a^{4}x}{5b^{3}}}={\frac {a^{2}x}{5b}}\left(3-{\frac {4ax^{4}}{b}}+{\frac {3a^{2}}{b^{2}}}\right)$ ;
${\frac {2abc}{\left(a-b\right)^{2}}}-{\frac {4ab^{2}}{a-b}}+{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a-b}}={\frac {ab}{a-b}}\left({\frac {2c}{a-b}}-4b+{\sqrt {2}}\right)$ ;
${\frac {2ab}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}+{\frac {2ac}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}}-{\frac {6bc}{\left(a-c\right)^{2}}}={\frac {2}{a-c}}\left({\frac {ab}{a-b}}+{\frac {ac}{c-b}}-{\frac {3bc}{a-c}}\right)$ .

Factoriser les expressions suivantes :

$\left(a-b\right)\left(a-c\right)-\left(b-c\right)\left(b-a\right)+\left(a-b\right)^{2}$ ;
$ab\left(b-c\right)-ac\left(c-b\right)^{2}-abc\left(b-c\right)$ .

Solution

$\left(a-b\right)\left(a-c\right)-\left(b-c\right)\left(b-a\right)+\left(a-b\right)^{2}=\left(a-b\right)\left(a-c+b-c+a-b\right)=2\left(a-b\right)\left(a-c\right)$ ;
$ab\left(b-c\right)-ac\left(c-b\right)^{2}-abc\left(b-c\right)=a\left(b-c\right)\left(b-c\left(b-c\right)-bc\right)=a\left(b-c\right)\left(b-2bc+c^{2}\right)$ .

Factoriser les expressions suivantes :

Solution

$ac+ad+ae+bc+bd+be=\left(a+b\right)\left(c+d+e\right)$ ;
$a+b{\sqrt {3}}-c+b-c{\sqrt {3}}+a{\sqrt {3}}=\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left(a+b-c\right)$ ;
$a^{3}b-a^{2}c+ab^{2}c-bc^{2}=\left(a^{2}+bc\right)\left(ab-c\right)$ ;
$3ac{\sqrt {3}}-b^{2}+3bc-ab{\sqrt {3}}=\left(3c-b\right)\left(a{\sqrt {3}}+b\right)$ .

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