Ne pas confondre addition et multiplication

${\displaystyle x\times x=...}$

${\displaystyle x+x=...}$

Réduire des additions

${\displaystyle 2x+5x=...}$

${\displaystyle -x+3x=...}$

Réduire des multiplications

${\displaystyle 2\times x\times 4=...}$

${\displaystyle 2\times x\times (-5)=...}$

Réduire des carrés

On ne réduit pas des x avec des x au carré

${\displaystyle 2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5}$

Solution

On regroupe les ${\displaystyle x^{2}}$ entre eux, les x entre eux et les constantes entre elles.

${\displaystyle 2x-7+3x^{2}+5x-4x^{2}+5=3x^{2}-4x^{2}+2x+5x-7+5=-x^{2}+7x-2}$

 

Exemple

Calculer séparément

${\displaystyle 4\times (3+2)=}$

${\displaystyle 4\times 3+4\times 2=}$

Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :

Propriété

Pour tous nombres k, a et b :

${\displaystyle k\times (a+b)=k\times a+k\times b}$

${\displaystyle k\times (a-b)=k\times a-k\times b}$

${\displaystyle (a+b)\times k=a\times k+b\times k}$

${\displaystyle (a-b)\times k=a\times k-b\times k}$

Quand nous utilisons ces propriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.

Exemples

Développer :

${\displaystyle (-2)\times (3+5)=}$

${\displaystyle 2\times (3-5)=}$

${\displaystyle (7+2)\times 5=}$

${\displaystyle (2-7)\times 3=}$

Solution

${\displaystyle (-2)\times (3+5)=(-2)\times 3+(-2)\times 5}$

${\displaystyle 2\times (3-5)=2\times 3-2\times 5}$

${\displaystyle (7+2)\times 5=7\times 5+2\times 5}$

${\displaystyle (2-7)\times 3=2\times 3-7\times 3}$

Il est intéressant dans chaque exemple de calculer les membres de gauche et de droite pour se convaincre que les résultats sont les mêmes.

 

Développements en calcul littéral (avec des x)

La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.

Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

${\displaystyle 5\times (x+2)=}$

${\displaystyle 2\times (2x-5)=}$

${\displaystyle (7+2x)\times 3=}$

${\displaystyle (2x-7)\times (-3)=}$

Solution

${\displaystyle 5\times (x+2)=5\times x+2\times 5=5\times x+10}$

${\displaystyle 2\times (2x-5)=2\times 2x-2\times 5=4x-10}$

${\displaystyle (7+2x)\times 3=7\times 3+2x\times 3=21+6x}$

${\displaystyle (2x-7)\times (-3)=2x\times (-3)-7\times (-3)=-6x+21}$

 

Formules

${\displaystyle (a+b)\times (c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d}$

${\displaystyle (a-b)\times (c+d)=a\times c+a\times d-b\times c-b\times d}$

${\displaystyle (a+b)\times (c-d)=a\times c-a\times d+b\times c-b\times d}$

${\displaystyle (a-b)\times (c-d)=a\times c-a\times d-b\times c+b\times d}$

Exemples

Développer : ${\displaystyle (2x+4)(3x+2)-(4x+3)(3x+4)}$

${\displaystyle (x+2)\times (x+3)=}$

${\displaystyle (x-2)\times (5+x)=}$

${\displaystyle (2x+3)\times (x-4)=}$

${\displaystyle (-3x-5)\times (x-1)=}$

Solution

${\displaystyle (x+2)\times (x+3)=x\times x+x\times 3+2\times x+2\times 3}$

${\displaystyle (x-2)\times (5+x)=x\times 5+x\times x-2\times 5-2\times x}$

${\displaystyle (2x+3)\times (x-4)=2x\times x-2x\times 4+3\times x-3\times 4}$

${\displaystyle (-3x-5)\times (x-1)=-3x\times x-(-3x)\times 1-5\times x+5\times 1}$