Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss

Exercice 5-1

a est le nombre a = n(n² + 5), n étant un entier naturel.

Démontrer que a est divisible par 2.
Démontrer que a est divisible par 3.
Que pouvez-vous déduire des deux questions précédentes ?

Solution

$n$ et $n^{2}$ sont de même parité donc $n$ et $n^{2}+5$ sont de parités contraires.
Modulo 3, $n(n^{2}+5)\equiv n(n^{2}-1)=(n-1)n(n+1)\equiv 0$ .
a est divisible par ppcm(2, 3) = 6.

Exercice 5-2

n est un entier relatif. Prouvez que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6.

Solution

Modulo 2, $n(2n+1)(7n+1)\equiv n(0n+1)(1n+1)=n(n+1)\equiv 0$ .

Modulo 3, $n(2n+1)(7n+1)\equiv n(-n+1)(n+1)=-(n-1)n(n+1)\equiv 0$ .

Donc n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par ppcm(2, 3) = 6.

Exercice 5-3

n est un entier relatif. Prouvez que :

1° n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 ;

2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120.

Solution

1° n(n + 1)(n + 2) est divisible par 3 et parmi quatre entiers consécutifs, deux sont pairs, et l'un des deux est multiple de 4 donc le produit est multiple de 8, et donc de ppcm(8, 3) = 24.

2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 24 d'après la question précédente, mais aussi par 5 donc par ppcm(24, 5) = 120.

Exercice 5-4

Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 6.
Soient n un entier naturel et x l'entier : x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). Écrivez $n+3 \choose 4$ à l'aide de x et déduisez-en que x est un multiple de 4!.
Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que y = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + p – 1) est un multiple de p!.

Solution

Parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3 et au moins un est pair, donc le produit est divisible par ppcm(2, 3) = 6.
${\frac {x}{4}}={n+3 \choose 4}\in \mathbb {N}$ donc $4\mid x$ .
De même, ${\frac {y}{p!}}={n+p \choose p!}\in \mathbb {N}$ donc $p!\mid y$ .

Exercice 5-5

a et b sont des entiers naturels.

Montrer que a⁵ – a est divisible par 10.
Démontrer que si a⁵ – b⁵ est divisible par 10, alors a² – b² est divisible par 20.

Solution

a⁵ – a est pair (car a⁵ et a ont même parité). Modulo 5, il est congru à $0^{5}-0=0$ ou $1^{5}-1=0$ ou $(-1)^{5}-(-1)=0$ ou $2^{5}-2=30\equiv 0$ ou $(-2)^{5}-(-2)=-30\equiv 0$ . Il est donc divisible par ppcm(2, 5) = 10.
Si 10 divise a⁵ – b⁵ alors, d'après la question précédente, il divise aussi a – b, qui est donc pair donc a + b est divisible par 2. Le produit a² – b² = (a – b)(a + b) est alors divisible par 10×2.

Exercice 5-6

n est un entier naturel.

Prouvez que n²(n² – 1)(n² + 1) est divisible par 60.

Solution

n(n² – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 3.

Si n est pair, n² est divisible par 4 et si n est impair, n² – 1 = (n – 1)(n + 1) est divisible par 2×2 = 4.

Modulo 5, n² est congru à $0^{2}=0$ , $(\pm 1)^{2}=1$ ou $(\pm 2)^{2}=-1$ donc n², n² – 1 ou n² + 1 est divisible par 5.

Donc n²(n² – 1)(n² + 1) est divisible par ppcm(3, 4, 5) = 60.

Exercice 5-7

n et p sont des entiers strictement positifs. Démontrer que :

1° n(n⁴ – 1) est divisible par 30 ;

2° l'écriture décimale de n^p et n^p+4 se termine à droite par le même chiffre.

Solution

1° n(n⁴ – 1) = n(n² – 1)(n² + 1) et n(n² – 1) = (n – 1)n(n + 1) est divisible par 2 et par 3 donc par 6.

Si n n'est pas divisible par 5 alors modulo 5, n² est congru à

(\pm 1)^{2}=1

ou

(\pm 2)^{2}\equiv -1

donc n⁴ – 1 est congru à

(\pm 1)^{2}-1=0

.

Donc n(n⁴ – 1) est divisible par ppcm(6, 5) = 30.

2° D'après la question précédente, modulo 30 et a fortiori modulo 10, n^p+4 – n^p est congru à n^p–1×0 = 0.

Exercice 5-8

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que b > 1. On note b₁ < b₂ < … < b_n les entiers naturels inférieurs à b et premiers avec b.

Démontrer que les éléments de l'ensemble E = {b₁a, b₂a, b₃a, … , b_na} sont premiers avec b.
Démontrer qu'en divisant par b deux éléments quelconques de l'ensemble E, on obtient des restes différents et premiers avec b. Quel est alors l'ensemble des restes ?

Solution

Théorème de Gauss.
Notons r_k le reste de la division par b de b_ka. Alors, 0 ≤ r_k < b et pgcd(r_k, b) = pgcd(b_ka, b) = 1 (d'après la question précédente).
De plus, si j > k alors r_j ≠ r_k car b ne divise pas b_ja – b_ka = (b_j – b_k)a car sinon (théorème de Gauss) il diviserait b_j – b_k, or 0 < b_j – b_k < b.
L'ensemble des n restes est donc E.

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