Soit ${\displaystyle (a,b,c)}$ une solution, avec ${\displaystyle a\leq b\leq c}$.

• Si ${\displaystyle a=0}$ alors ${\displaystyle b=0}$.
• Si ${\displaystyle a>0}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{a}}=1}$, donc ${\displaystyle 1>{\frac {1}{a}}\geq {\frac {1}{3}}}$, donc ${\displaystyle a=2}$ ou ${\displaystyle 3}$.
  • Si ${\displaystyle a=2}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}={\frac {1}{2}}}$, donc ${\displaystyle {\frac {1}{2}}>{\frac {1}{b}}\geq {\frac {1}{4}}}$, donc ${\displaystyle b=3}$ ou ${\displaystyle 4}$.
  • Si ${\displaystyle a=3}$ alors ${\displaystyle {\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}={\frac {2}{3}}}$, donc ${\displaystyle {\frac {2}{3}}>{\frac {1}{b}}\geq {\frac {1}{3}}}$, donc ${\displaystyle b=3}$.

Les solutions sont donc (à permutation près) : ${\displaystyle (0,0,c)}$, ${\displaystyle (2,3,6)}$, ${\displaystyle (2,4,4)}$ et ${\displaystyle (3,3,3)}$.

Soit ${\displaystyle m}$ un tel nombre, il s'agit de montrer qu'il existe deux entiers ${\displaystyle j,k>0}$ tels que ${\displaystyle km={\frac {10^{j}-1}{9}}}$, autrement dit : qu'il existe ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{*}}$ tel que ${\displaystyle 10^{j}\equiv 1\mod {9m}}$.

La suite des ${\displaystyle 10^{n}\mod {9m}}$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs (appartenant à ${\displaystyle \{0,1,\dots ,9m-1\}}$) donc il existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{*}}$ tels que ${\displaystyle 10^{n+j}\equiv 10^{n}\mod {9m}}$.

Or ${\displaystyle 10}$ est premier avec ${\displaystyle m}$ et ${\displaystyle 9}$ donc avec ${\displaystyle 9m}$ donc ${\displaystyle 10^{n}}$ l'est aussi, si bien qu'on peut simplifier et conclure : ${\displaystyle 10^{j}\equiv 1\mod {9m}}$.

Le nombre de diviseurs de ${\displaystyle n}$ se déduit de sa décomposition en produit de facteurs premiers. Il vaut ${\displaystyle 5}$ si et seulement si ${\displaystyle n=p^{4}}$ pour un certain nombre premier ${\displaystyle p}$. Pour que ${\displaystyle n-16=p^{4}-2^{4}=(p-2)(p^{3}+2p^{2}+4p+8)}$ soit le produit de deux nombres premiers, il faut que ${\displaystyle p=3}$ car ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p-2}$ et ${\displaystyle p^{3}+2p^{2}+4p+8}$ ne peuvent pas être simultanément premiers (car ${\displaystyle (5^{4}-16)/3=7\times 29}$, ${\displaystyle (7^{4}-16)/5=3^{2}\times 53}$ et ${\displaystyle p^{3}+2p^{2}+4p+8\equiv (p+2)(p-1)(p+1)\mod 5}$).

${\displaystyle 3^{4}-16=5\times 13}$ donc l'unique solution est ${\displaystyle n=3^{4}}$.

La plus petite solution est ${\displaystyle n=1}$. Montrons que c'est la seule. Pour tout entier ${\displaystyle n>1}$,

${\displaystyle n^{4}+4=(n^{2}+2)^{2}-4n^{2}=(n^{2}-2n+2)(n^{2}+2n+2)}$ n'est pas premier (les deux facteurs sont ${\displaystyle >1}$).

1. Procédons comme dans l'exercice 12-1 ci-dessus. Soit ${\displaystyle (a,b,c)}$ une solution avec, sans perte de généralité, ${\displaystyle 0<a\leq b\leq c}$. Alors, ${\displaystyle {\frac {1}{4}}>{\frac {1}{a^{2}}}\geq {\frac {1}{12}}}$ donc ${\displaystyle a=3}$. Puis,
   ${\displaystyle {\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}={\frac {5}{36}}}$ donc ${\displaystyle {\frac {5}{36}}>{\frac {1}{b^{2}}}\geq {\frac {5}{72}}}$ donc ${\displaystyle b=3}$. La solution (unique) est donc :

   ${\displaystyle {\frac {1}{4}}={\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}}$.

2. Par la même méthode, on montre que ${\displaystyle n=2,3,5}$ ne sont pas solutions.
   ${\displaystyle 1={\frac {1}{1^{2}}}}$ donc ${\displaystyle n=1}$ est solution.
   Si ${\displaystyle n}$ est solution alors ${\displaystyle n+3}$ aussi car on peut remplacer ${\displaystyle {\frac {1}{x_{n}^{2}}}}$ par ${\displaystyle {\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}+{\frac {1}{(2x_{n})^{2}}}}$.
   Pour en déduire que 4 et tous les entiers à partir de 6 sont solutions, il suffit donc de vérifier que 6 et 8 sont solutions :
   ${\displaystyle 1={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)+\left({\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}\right)}$.
   La réponse est finalement : tous les entiers (à partir de 1) sauf 2, 3 et 5.