Si ${\displaystyle p=(x-y)(x+y)}$ alors le plus petit des deux facteurs est égal à ${\displaystyle 1}$ et l'autre à ${\displaystyle p}$, autrement dit : ${\displaystyle x=y+1}$ et ${\displaystyle p=2y+1}$, ou encore : ${\displaystyle y={\frac {p-1}{2}}}$ et ${\displaystyle x={\frac {p+1}{2}}}$.

L'unique solution est donc : ${\displaystyle (x,y)=\left({\frac {p+1}{2}},{\frac {p-1}{2}}\right)}$.

401 est bien premier, puisqu'il n'est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à sa racine carrée.

D'après l'exercice précédent, l'unique solution est donc : ${\displaystyle (x,y)=\left({\frac {401+1}{2}},{\frac {401-1}{2}}\right)=(201,200)}$.

p est congru à 1 mod 2 et à ±1 mod 3, donc à 1 ou 5 mod 6.

1. • Tout nombre premier > 2 est impair donc congru modulo 4 à 1 ou 3 (le nombre premier 2 est congru à lui-même).
   • L'exercice 10-3 permet d'affirmer que modulo 6, tout nombre premier > 3 est congru à 1 ou 5 (les nombres premiers 2 et 3 sont congrus à eux-mêmes).
2. Il s'agit de montrer que p² – 1 est divisible par 3 et par 8. D'après la question précédente :
   • p ≡ ±1 mod 3 donc p² ≡ 1 mod 3.
   • p = 4k ± 1 donc p² = 16k² ± 8k + 1 ≡ 1 mod 8.

Supposons d'abord ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ positifs. Alors, ${\displaystyle 3\times 19=(y-x)(y+x)\Leftrightarrow }$ (${\displaystyle y-x=3}$ et ${\displaystyle y+x=19}$) ou (${\displaystyle y-x=1}$ et ${\displaystyle y+x=57}$), c'est-à-dire ${\displaystyle (x,y)=(8,11)}$ ou ${\displaystyle (28,29)}$.

Il y a donc 8 solutions ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ : ±(8, ±11) et ±(28, ±29).

${\displaystyle x^{2}+6x=y^{2}+47\Leftrightarrow (x+3)^{2}=y^{2}+56}$ donc cherchons d'abord les couples d'entiers positifs ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle y}$ tels que ${\displaystyle z^{2}=y^{2}+56}$. Nécessairement, ${\displaystyle z}$ et ${\displaystyle y}$ sont de même parité donc ${\displaystyle (z-y,z+y)=(2,28)}$ ou ${\displaystyle (4,14)}$, c'est-à-dire ${\displaystyle (z,y)=(15,13)}$ ou ${\displaystyle (9,5)}$.

Il y a donc 8 solutions ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ : ±(15, ±13) – (3, 0) et ±(9, ±5) – (3, 0), c'est-à-dire : (12, ±13), (–18, ±13), (6, ±5) et (–12, ±5).