Inspiré de la solution par Lemaire (Douai) au problème n^o 74 de Ehrhart (Strasbourg), Bulletin de l'APMEP, n^o 328, avril 1981, p. 335-337.

${\displaystyle (u_{n})}$ est la suite définie par :

${\displaystyle {\begin{cases}u_{1}=u_{2}=0\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}+1\quad (1)\qquad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}.\end{cases}}}$

Le but du problème est de chercher tous les nombres premiers de cette suite.

1°  Soit ${\displaystyle F_{n}}$ la suite définie pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}$ par ${\displaystyle F_{n}=u_{n}+1}$.

a)  Calculer les premières valeurs des suites ${\displaystyle (F_{n})}$ et ${\displaystyle (u_{n})}$, jusqu'à ${\displaystyle n=6}$.

Quels nombres premiers remarquez-vous déjà parmi les ${\displaystyle u_{n}}$ calculés ?

b)  La suite ${\displaystyle (F_{n})}$ est célèbre. La reconnaissez-vous ?

c)  Démontrer par récurrence (pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 2}$) :

${\displaystyle F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}\qquad (2)}$.

2°  a)  Déduire des relations (1) et (2) la relation (pour tout entier ${\displaystyle n\geqslant 2}$) :

${\displaystyle 5u_{n+1}u_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1})^{2}-(u_{n+1}+u_{n-1})+(-1)^{n}-1}$.

b)  Calculer, en fonction de ${\displaystyle n}$, les deux racines ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ de l'équation ${\displaystyle X^{2}-X+(-1)^{n}-1=0}$, et déduire de la question précédente que

${\displaystyle 5u_{n+1}u_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1}-a_{n})(u_{n+1}+u_{n-1}-b_{n})\qquad (3)}$.

c)  En déduire que si ${\displaystyle u_{n-1}}$ est premier, il divise ${\displaystyle u_{n+1}-a_{n}}$ ou ${\displaystyle u_{n+1}-b_{n}}$.

3°  a)  Montrer que pour tout ${\displaystyle n\geqslant 8}$ :

${\displaystyle 1<{\frac {u_{n+1}-b_{n}}{u_{n-1}}}<{\frac {u_{n+1}-a_{n}}{u_{n-1}}}<3}$.

b)  Démontrer en utilisant (3) que pour tout ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle u_{n-1}\neq 0}$ :

${\displaystyle u_{n-1}={\begin{cases}-3a_{n}-2b_{n}&{\text{si }}u_{n+1}-b_{n}=2u_{n-1}\\-3b_{n}-2a_{n}&{\text{si }}u_{n+1}-a_{n}=2u_{n-1}{\text{.}}\end{cases}}}$

c)  Quels sont les seuls termes premiers de la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ ?

Corrigé

1°  a)  Pour ${\displaystyle n}$ de ${\displaystyle 1}$ à ${\displaystyle 6}$, les valeurs de ${\displaystyle u_{n}}$ sont ${\displaystyle 0,0,1,2,4,7}$ et celles de ${\displaystyle F_{n}}$ sont ${\displaystyle 1,1,2,3,5,8}$. Les nombres ${\displaystyle u_{4}=2}$ et ${\displaystyle u_{6}=7}$ sont premiers.

b)  C'est la suite de Fibonacci, puisqu'elle vérifie ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}$ et ${\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}}$.

:c) C'est l'identité de Cassini :

Voir les exercices sur : Identités remarquables pour les récurrences linéaires d'ordre 2.

2°  a)  D'après (1) et (2),

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n}&=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}\\&=\left(u_{n+1}+1\right)\left(u_{n-1}+1\right)-\left(u_{n}+1\right)^{2}\\&=\left(u_{n+1}+1\right)\left(u_{n-1}+1\right)-\left(u_{n+1}-u_{n-1}\right)^{2}\end{aligned}}}$

ce qui, en développant, équivaut à la relation souhaitée.

b)  ${\displaystyle (a_{n},b_{n})={\begin{cases}(0,1)&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(-1,2)&{\text{si }}n{\text{ est impair}}\end{cases}}}$

et (3) est immédiat.

c)  D'après (3), ${\displaystyle u_{n-1}}$ divise ${\displaystyle (u_{n+1}-a_{n})(u_{n+1}-b_{n})}$.

3°  a)  ${\displaystyle b_{n}>a_{n}}$ et la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ est positive et croissante. De plus :

• pour tout ${\displaystyle n\geq 4}$, ${\displaystyle u_{n+1}-b_{n}\geq u_{n+1}-2=u_{n}+u_{n-1}-1>u_{n-1}>0}$ ;
• pour tout ${\displaystyle n\geq 8}$, ${\displaystyle u_{n+1}-a_{n}\leq u_{n+1}+1=2u_{n-1}+u_{n-2}+3<3u_{n-1}}$ car ${\displaystyle u_{n-1}=u_{n-2}+u_{n-3}+1>u_{n-2}+3}$.

b)  Immédiat.

c)  Les deux seuls termes premiers de la suite sont ceux de la question 1° a) (${\displaystyle u_{4}=2}$ et ${\displaystyle u_{6}=7}$).

En effet, pour tout ${\displaystyle n\geq 8}$, ${\displaystyle u_{n-1}}$ ne peut pas être premier car sinon, on déduirait des questions précédentes que ${\displaystyle 3a_{n}+2b_{n}<0}$ (donc ${\displaystyle n}$ impair) puis, que ${\displaystyle u_{n-1}=1}$, ce qui est absurde car ${\displaystyle 1}$ n'est pas premier.