Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Calcul de modules et d'arguments

Calcul du module

Déterminer le module des nombres complexes suivants (on demande des valeurs exactes).

Contrôler sur une figure les résultats obtenus.

a) $z=1+i$

Solution

$z=1+i$

$|z|={\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}$

b) $z=-5i$

Solution

$z=-5i$

$|z|={\sqrt {0^{2}+(-5)^{2}}}=5$

c) $z=-1-i$

Solution

$z=-1-i$

$|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-1)^{2}}}={\sqrt {2}}$

d) $z=1-i{\sqrt {3}}$

Solution

$z=1-i{\sqrt {3}}$

$|z|={\sqrt {1^{2}+(-{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {4}}=2$

e) $z=-{\sqrt {3}}+i$

Solution

$z=-{\sqrt {3}}+i$

$|z|={\sqrt {(-{\sqrt {3}})^{2}+1^{2}}}={\sqrt {4}}=2$

f) $z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

Solution

$z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

$|z|={\sqrt {\left(\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)^{2}+\left(-\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)^{2}}}={\sqrt {1}}=1$

Calcul d'un argument

Déterminer un argument des nombres complexes suivants (on demande des valeurs exactes, en utilisant les valeurs de l'exercice précédent pour le module.

Contrôler sur la figure précédente les résultats obtenus.

a) $z=1+i$

Solution

$z=1+i$

$\cos(\theta )={\frac {1}{|z|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ .

Donc $\theta ={\frac {\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{4}}$ .

Comme b > 0, on a $\theta ={\frac {\pi }{4}}$

b) $z=-5i$

Solution

$z=-5i$

a = 0 et b < 0 donc $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$ .

c) $z=-1-i$

Solution

$z=-1-i$

$\cos(\theta )={\frac {-1}{|z|}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ .

Donc $\theta ={\frac {3\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {3\pi }{4}}$ .

Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {3\pi }{4}}$

d) $z=1-i{\sqrt {3}}$

Solution

$z=1-i{\sqrt {3}}$

$\cos(\theta )={\frac {1}{|z|}}={\frac {1}{2}}$ .

Donc $\theta ={\frac {\pi }{3}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{3}}$ .

Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {\pi }{3}}$

e) $z=-{\sqrt {3}}+i$

Solution

$z=-{\sqrt {3}}+i$

$\cos(\theta )={\frac {-{\sqrt {3}}}{|z|}}={\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}$ .

Donc $\theta ={\frac {5\pi }{6}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {5\pi }{6}}$ .

Comme b > 0, on a $\theta ={\frac {5\pi }{6}}$

f) $z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

Solution

$z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

$\cos(\theta )={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)}{|z|}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$ .

Donc $\theta ={\frac {\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{4}}$ .

Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {\pi }{4}}$

Forme trigonométrique

En utilisant les résultats des deux précédents exercices, mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique

a) $z=1+i$

Solution

$z=1+i$
$z={\sqrt {2}}\left(\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\right)$

b) $z=-5i$

Solution

$z=-5i$
$z=5i\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)$

c) $z=-1-i$

Solution

$z=-1-i$
$z={\sqrt {2}}\left(\cos \left(-{\frac {3\pi }{4}}\right)+i\sin \left(-{\frac {3\pi }{4}}\right)\right)$

d) $z=1-i{\sqrt {3}}$

Solution

$z=1-i{\sqrt {3}}$
$z=2\left(\cos \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)+i\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)$

e) $z=-{\sqrt {3}}+i$

Solution

$z=-{\sqrt {3}}+i$
$z=2\left(\cos \left({\frac {5\pi }{6}}\right)+i\sin \left({\frac {5\pi }{6}}\right)\right)$

f) $z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

Solution

$z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$
$z=\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)+i.\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)$

Calcul avec Arctan

En utilisant la fonction $Arctan$ de la calculatrice, donner un argument des nombres complexes suivants. Penser à décider entre $\theta$ et $\theta +\pi$ grâce au signe de la partie réelle.

a) $z=1+i$

Solution

$z=1+i$
$\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$
Comme a > 0, on a $\theta ={\frac {\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{4}}$
Comme b > 0, on a $\theta ={\frac {\pi }{4}}$

b) $z=-5i$

Solution

$z=-5i$

a = 0 et b < 0 donc $\theta =-{\frac {\pi }{2}}$ .

c) $z=-1-i$

Solution

$z=-1-i$
$\arctan \left({\frac {-1}{-1}}\right)={\frac {\pi }{4}}$
Comme a < 0, on a $\theta ={\frac {3\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {3\pi }{4}}$
Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {3\pi }{4}}$

d) $z=1-i{\sqrt {3}}$

Solution

$z=1-i{\sqrt {3}}$
$\arctan \left({\frac {-{\sqrt {3}}}{1}}\right)={\frac {\pi }{3}}$
Comme a > 0, on a $\theta ={\frac {\pi }{3}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{3}}$
Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {\pi }{3}}$

e) $z=-{\sqrt {3}}+i$

Solution

$z=-{\sqrt {3}}+i$
$\arctan \left({\frac {1}{-{\sqrt {3}}}}\right)={\frac {\pi }{6}}$
Comme a < 0, on a $\theta ={\frac {5\pi }{6}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {5\pi }{6}}$
Comme b > 0, on a $\theta ={\frac {5\pi }{6}}$

f) $z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$

Solution

$z=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)-i.\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)$
$\arctan \left({\frac {-\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)}}\right)=-{\frac {\pi }{4}}$
Comme a > 0, on a $\theta ={\frac {\pi }{4}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{4}}$
Comme b < 0, on a $\theta =-{\frac {\pi }{4}}$

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Soit $z$ un nombre complexe de module $r$ et d'argument $\theta$ .

Écrire $z$ sous forme algébrique $a+bi$ dans les cas suivants.

$r_{1}=3$ et $\theta _{1}={\frac {\pi }{6}}$

Solution

${\begin{aligned}z_{1}&=r_{1}(cos\theta _{1}+isin\theta _{1})\\&=3\times ({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {1}{2}}i)\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {3}{2}}i\end{aligned}}$

$r_{2}=2$ et $\theta _{2}={\frac {3\pi }{4}}$

Solution

${\begin{aligned}z_{2}&=r_{2}(cos\theta _{2}+isin\theta _{2})\\&=2\times (-{\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}})\\&=-{\sqrt {2}}+i{\sqrt {2}}\end{aligned}}$

$r_{3}=2$ et $\theta _{3}={\frac {-\pi }{3}}$

Solution

${\begin{aligned}z_{3}&=r_{3}(cos\theta _{3}+isin\theta _{3})\\&=2\times ({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}})\\&=1-i{\sqrt {3}}\end{aligned}}$

$r_{4}=2,5$ et $\theta _{4}={\frac {-5\pi }{6}}$

Solution

${\begin{aligned}z_{4}&=r_{4}(cos\theta _{4}+isin\theta _{4})\\&={\frac {5}{2}}\times (-{\frac {\sqrt {3}}{2}}-i{\frac {1}{2}})\\&={\frac {5{\sqrt {3}}}{4}}-{\frac {5}{4}}i\end{aligned}}$

Exercice

On donne :

$z_{A}=-4-4i$ et $z_{B}=-3+2i$

a) Placer les points A et B dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité 2 cm.

Solution

b) Calculer $\left|z_{A}\right|$ et $\left|z_{B}\right|$ .
Que représentent ces quantités géométriquement ?

Solution

${\begin{aligned}|z_{A}|&={\sqrt {(-4)^{2}+(-4)^{2}}}\\&={\sqrt {16+16}}\\&={\sqrt {32}}\\&=4{\sqrt {2}}\end{aligned}}$
${\begin{aligned}|z_{B}|&={\sqrt {(-3)^{2}+2^{2}}}\\&={\sqrt {9+4}}\\&={\sqrt {13}}\end{aligned}}$
Ces résultats représentent les distances qui séparent le point d'origine aux points A et B.

c) Calculer $\left|z_{A}-z_{B}\right|$
Interpréter géométriquement ce résultat.

Solution

${\begin{aligned}|z_{A}-z_{B}|&={\sqrt {(-4-(-3))^{2}+(-4-2)^{2}}}\\&={\sqrt {1+36}}\\&={\sqrt {37}}\end{aligned}}$
Ce résultat représente la distance entre les points A et B.

d) Le triangle OAB est-il rectangle ? Justifier.

Solution

Si $AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$ , alors le triangle OAB est rectangle.
$AB^{2}=|z_{A}-z_{B}|^{2}=37$
$AO^{2}=|z_{A}|^{2}=32$
$BO^{2}=|z_{B}|^{2}=13$
On a donc $AB^{2}\neq AO^{2}+BO^{2}$ . Donc le triangle OAB n’est pas rectangle.

Exercice

On donne $z_{A}=-1-i{\sqrt {3}}$ .

1) On pose $z_{B}=2i\times z_{A}$ , démontrer que $z_{B}=2{\sqrt {3}}-2i$ .

Solution

${\begin{aligned}z_{B}&=2i\times z_{A}\\&=-2i+2{\sqrt {3}}\end{aligned}}$

2) a) Calculer un argument de chacun des nombres complexes $z_{A}$ et $z_{B}$ (on demande des valeurs exactes).

Solution

$z_{A}=-1-i{\sqrt {3}}$

$\cos(\theta )={\frac {-1}{|z_{A}|}}={\frac {-1}{2}}$ .

Donc $\theta ={\frac {2\pi }{3}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {2\pi }{3}}$ .

Comme b < 0, on a $arg(z_{A})=-{\frac {2\pi }{3}}$
$z_{B}=2{\sqrt {3}}-2i$

$\cos(\theta )={\frac {2{\sqrt {3}}}{|z_{B}|}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ .

Donc $\theta ={\frac {\pi }{6}}{\textrm {~ou~}}\theta =-{\frac {\pi }{6}}$ .

Comme b < 0, on a $arg(z_{B})=-{\frac {\pi }{6}}$

b) Placer dans un repère orthonormé d'origine O et d'unité 2 cm les points A et B.

Solution

3) Démontrer que le triangle OAB est rectangle en O.

Solution

On calcule l'angle $({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})$ .

$({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})=arg(z_{A})-arg(z_{B})=-{\frac {\pi }{2}}$

Donc le triangle OAB est rectangle en O.

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