En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que :

${\displaystyle i(t)=I{\sqrt {2}}\cos(\omega t)}$ pour l'intensité ${\displaystyle u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )}$ pour la tension

Les tensions électriques sinusoïdales habituelles sont de fréquences constant ƒ = 50 Hz.

La pulsation est :

${\displaystyle \omega =2\pi f\approx 314\;\mathrm {rad} \cdot \mathrm {s^{-1}} }$

C'est la même constante pour toutes les fonctions ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle u}$ ainsi définies.

Il en résulte que chaque fonction ${\displaystyle u(t)}$ est caractérisée par la donnée du réel positif ${\displaystyle U}$ et de la mesure en radians d'un angle ${\displaystyle \varphi }$.

Ainsi, on peut associer à chaque fonction ${\displaystyle u}$ le nombre complexe ${\displaystyle [U,\varphi ]}$

Définition

À toute tension sinusoïdale ${\displaystyle u}$ on associe le nombre complexe noté ${\displaystyle {\underline {U}}}$

• de module ${\displaystyle U}$, la valeur efficace de ${\displaystyle u}$,
• d'argument ${\displaystyle \varphi }$, la phase initiale de ${\displaystyle u}$.

À ${\displaystyle u(t)=U{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )}$ on associe :

${\displaystyle {\underline {U}}=U(\cos(\varphi )+j\sin(\varphi ))}$

Remarque

En électricité, pour éviter les confusions avec l'intensité ${\displaystyle i}$, on note ${\displaystyle j}$ le nombre complexe habituellement noté ${\displaystyle i}$ en mathématiques.

Définition

Dans le plan complexe, si M est l'image de ${\displaystyle {\underline {U}}=[U,\varphi ]}$

le vecteur de Fresnel de la fonction sinusoïdale u est le vecteur ${\displaystyle {\vec {OM}}}$.

Exemple

Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale ${\displaystyle u(t)=220{\sqrt {2}}\cos \left(\omega t+{\frac {\pi }{4}}\right)}$.

On peut associer à u le nombre complexe ${\displaystyle {\underline {U}}=\left[220,{\frac {\pi }{4}}\right]}$