< Application multilinéaire
Dans ce chapitre, est un -espace vectoriel de dimension finie et une base de . On note l'espace vectoriel des applications -linéaires alternées de dans .
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Définition
Le déterminant dans la base d'un -uplet de vecteurs , noté , est le déterminant de sa matrice dans :
si alors .
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Théorème fondamental
Pour tout -espace vectoriel , l'application linéaire
est un isomorphisme, d'isomorphisme réciproque
- .
Démonstration
Ces deux applications sont clairement linéaires. Montrons que leurs deux composées sont, respectivement, l'application identité de et celle de .
- Soit . Considérons l'application . Alors, .
- Soit maintenant . Considérons le vecteur et vérifions que .
- Pour tout , de matrice dans , on a :
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Corollaire
L'espace vectoriel des formes -linéaires alternées sur est une droite vectorielle, de vecteur directeur .
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