f sera dérivable pour x = 0 si sa dérivée à gauche en 0 est égale à sa dérivée en droite en 0, c'est-à-dire si :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim _{x\to 0^{+}}f'(x)}$

qui s'écrit :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2x+a=\lim _{x\to 0^{+}}-2x+5}$

soit :

${\displaystyle a=5}$

La dérivée de f est alors définie par :

${\displaystyle {\begin{cases}x\leqslant 0,\qquad f'(x)=2x+5\\x>0,\qquad f(x)=-2x+5\end{cases}}}$

Nous voyons que la dérivée s'annule pour x = -5/2 et x = 5/2. Une étude du signe de la dérivée sur chaque intervalle nous donne le tableau de variation suivant :

Nous obtenons la courbe représentative suivante :

1° La dérivée de f est :

${\displaystyle f'(x)=2ax+b}$

Si la fonction f présente un minimum pour x = ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, cela signifie que la dérivée s'annule pour cette valeur, on a donc :

${\displaystyle 2a{\frac {1}{2}}+b=0}$

Si le minimum pour x = ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ est égal à ${\textstyle {\frac {3}{4}}}$, on a aussi :

${\displaystyle a\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+b\left({\frac {1}{2}}\right)+c={\frac {3}{4}}}$

De plus, on sait que pour x = 1, la fonction vaut 1, on a donc :

${\displaystyle a\times 1^{2}+b\times 1+c=1}$

En simplifiant et en réunissant les trois relations précédentes en un système de trois équations à trois inconnues, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}a+b=0\\a+2b+4c=3\\a+b+c=1\end{cases}}}$

La résolution de ce système est :

${\displaystyle {\begin{cases}a=1\\b=-1\\c=1\end{cases}}}$

La fonction f sera donc définie par :

${\displaystyle f(x)=x^{2}-x+1}$

2°

Le tracé de la courbe f est une parabole.

3°

Le tracé de f (parabole) interceptera le tracée de la droite d'équation y = mx lorsque :

${\displaystyle x^{2}-x+1=mx}$

que l'on peut écrire :

${\displaystyle x^{2}-(m+1)x+1=0}$

Il nous suffit donc d'étudier le nombre de racines réelles de cette équation et cela dépend du signe du discriminant qui est égal à :

${\displaystyle (m+1)^{2}-4\times 1\times 1=m^{2}+2m-3}$

En résolvant l'équation :

${\displaystyle m^{2}+2m-3=0}$

On voit que le discriminant est nul pour m = -3 et m = 1.

On aura donc :

• pour m = -3 ou m = 1, le discriminant est nul, ce qui entraîne qu'il y a une seule interception entre la parabole et la droite (On pourrait montrer que la droite est tangente à la parabole).
• Pour m strictement compris entre -3 et 1, le discriminant sera strictement négatif et donc il n'y aura aucun point d'interception entre la parabole et la droite.
• Pour m strictement non compris entre -3 et 1, le discriminant sera strictement positif et il y aura donc deux points d'interception entre la parabole et la droite.

4°

Si la droite et la parabole se coupent en deux points distincts M' et M", cela signifie que le discriminant de l'équation :

${\displaystyle x^{2}-(m+1)x+1=0}$

est strictement positif. Et, par conséquent, m est strictement non compris entre -3 et 1.

L'équation :

${\displaystyle x^{2}-(m+1)x+1=0}$

a donc deux racines x₁ et x₂ (respectivement abscisses des points M' et M"). Le milieu I des points d'interception entre la courbe et la parabole aura donc pour abscisse :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}={\frac {-{\frac {-(m+1)}{1}}}{2}}={\frac {m+1}{2}}}$

(On rappelle que la somme des racines de l'équation ax² + bx + c = 0 est donnée par -b/a)

L'ordonnée de I sera :

${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}={\frac {(x_{1}^{2}-x_{1}+1)+(x_{2}^{2}-x_{2}+1)}{2}}={\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}-x_{2}+2}{2}}={\frac {(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+2}{2}}={\frac {(m+1)^{2}-2-(m+1)+2}{2}}={\frac {m(m+1)}{2}}}$

Le point I a donc pour coordonnées :

${\displaystyle \left({\frac {m+1}{2}}\;;\;{\frac {m(m+1)}{2}}\right)}$

Soit x et y, l'abscisse et l'ordonnée de I, on aura :

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {m+1}{2}}\\y={\frac {m(m+1)}{2}}\\m\in ]-\infty ;\;-3[\cup ]1;\;+\infty [\end{cases}}}$

Pour mieux se rendre compte de quel type de courbe parcourt I lorsque m varie de ${\displaystyle -\infty }$ à -3 et de 1 à ${\displaystyle +\infty }$, il nous faut éliminer m entre l'expression de x et de y. De la première équation, nous tirons :

${\displaystyle m=2x-1}$

et en portant dans la deuxième équation, nous obtenons :

${\displaystyle y={\frac {(2x-1)(2x-1+1)}{2}}=2x^{2}-x}$

Nous voyons que I parcourt un morceau de parabole d'équation y = 2x²-x.

Les coordonnées des points A, B, C, D doivent vérifier :

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {b}{d}}=2\\{\frac {a+b}{c+d}}=4\\{\frac {2a+b}{2c+d}}=-2\\{\frac {3a+b}{3c+d}}=0\end{cases}}}$

De la première équation, nous tirons b = 2d que nous pouvons porter dans les autres équations :

${\displaystyle {\begin{cases}b=2d\\{\frac {a+2d}{c+d}}=4\\{\frac {2a+2d}{2c+d}}=-2\\{\frac {3a+2d}{3c+d}}=0\end{cases}}}$

De la quatrième équation, nous tirons a = -2d/3 que nous pouvons porter dans les autres équations :

${\displaystyle {\begin{cases}b=2d\\a=-{\frac {2d}{3}}\\{\frac {-{\frac {2d}{3}}+2d}{c+d}}=4\\{\frac {-{\frac {4d}{3}}+2d}{2c+d}}=-2\end{cases}}}$

En simplifiant les deux dernières équations, on trouve :

${\displaystyle {\begin{cases}b=2d\\a=-{\frac {2d}{3}}\\3c+2d=0\\3c+2d=0\end{cases}}}$

Nous remarquons que les deux dernières équations sont identiques, ce qui produit une indétermination. Exprimons donc a, b, c en fonction de d :

${\displaystyle {\begin{cases}b=2d\\a=-{\frac {2d}{3}}\\c=-{\frac {2d}{3}}\end{cases}}}$

Et nous voyons que l'on peut obtenir un système simple de solution en choisissant d = -3, on obtient :

${\displaystyle {\begin{cases}a=2\\b=-6\\c=2\\d=-3\end{cases}}}$

La fonction f recherchée est donc défini par :

${\displaystyle f(x)={\frac {2x-6}{2x-3}}}$

Nous reconnaissons une hyperbole de domaine de définition :

${\displaystyle D_{f}=\left]-\infty ;\;{\frac {3}{2}}\right[\cup \left]{\frac {3}{2}};\;+\infty \right[}$

L'étude des limites aux bornes du domaine de définition nous donne :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x-6}{2x-3}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {2x}{2x}}=\lim _{x\to +\infty }1=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x-6}{2x-3}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {2x}{2x}}=\lim _{x\to -\infty }1=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {3}{2}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {3}{2}}^{+}}{\frac {2x-6}{2x-3}}={\frac {-6}{0^{+}}}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {3}{2}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {3}{2}}^{-}}{\frac {2x-6}{2x-3}}={\frac {-6}{0^{-}}}=+\infty }$

Nous en déduisons le tableau de variation suivant :

Ou l'on voit une asymptote horizontale d'équation ${\displaystyle y=1}$ et une asymptote verticale d'équation ${\displaystyle x={\frac {3}{2}}}$

Nous obtenons alors la courbe représentative de f suivante :

1°

La courbe représentative H de f est une hyperbole de domaine de définition :

${\displaystyle D_{f}=\left]-\infty ;\;1\right[\cup \left]1;\;+\infty \right[}$

L'étude des limites aux bornes du domaine de définition nous permet d'établir le tableau de variation suivant :

Où l'on voit une asymptote horizontale d'équation y = 1 et une asymptote verticale d'équation x = 1

Nous en déduisons la courbe représentative de f suivante :

Le centre de symétrie d'une hyperbole est le point d'interception de ses asymptotes. I aura donc pour abscisse 1 et pour ordonnée 1.

2°

Le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est donné par le nombre dérivée en A. Calculons donc la dérivée de f :

${\displaystyle f'(x)={\frac {(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {-2}{(x-1)^{2}}}}$

Le coefficient directeur de la tangente en A sera donc :

${\displaystyle f'(2)={\frac {-2}{(2-1)^{2}}}=-2}$

Recherchons une autre tangente à la courbe H ayant même coefficient directeur (donc parallèle à la première tangente). Pour cela, il nous faut résoudre l'équation :

${\displaystyle f'(x)=-2}$

C'est-à-dire :

${\displaystyle {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}=-2}$

équivalente sur D_f à :

${\displaystyle (x-1)^{2}=1}$

On trouve x = 2 ou x = 0.

On sait que 2 est l'abscisse de A, donc l'abscisse de A' sera 0. L'ordonnée de A' sera f(0) = -1.

I a pour coordonnées (1;1), A a pour coordonnées (2; 3), A' a pour coordonnées (0; -1). Nous voyons que I est le milieu du segment [AA']

3°

Pour trouver les abscisses des points d'interception entre l'hyperbole H et la droite D, il nous faut résoudre l'équation :

${\displaystyle {\frac {x+1}{x-1}}=-2x+m}$

qui s'écrit aussi :

${\displaystyle 2x^{2}-(m+1)x+m+1=0}$

On obtient une équation du second degré. Par conséquent, il y aura deux points d'interceptions (distincts ou confondus) si le discriminant de l'équation est positif ou nul. C'est-à-dire si :

${\displaystyle (m+1)^{2}-4\times 2(m+1)\geqslant 0}$

En factorisant, on obtient :

${\displaystyle (m+1)(m-7)\geqslant 0}$

C'est-à-dire si m appartient à l'intervalle :

${\displaystyle ]-\infty ;\;-1]\cup [7;\;+\infty [}$

4°

Si m appartient à l'intervalle :

${\displaystyle ]-\infty ;\;-1]\cup [7;\;+\infty [}$

l'équation :

${\displaystyle 2x^{2}-(m+1)x+m+1=0}$

a donc deux racines x₁ et x₂ (respectivement abscisses des points M et M'). Le milieu J des points d'interception entre la droite D et l'hyperbole H aura donc pour abscisse :

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}={\frac {-{\frac {-(m+1)}{2}}}{2}}={\frac {m+1}{4}}}$

(On rappelle que la somme des racines de l'équation ax² + bx + c = 0 est donnée par -b/a)

L'ordonnée de J sera :

${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}={\frac {{\frac {x_{1}+1}{x_{1}-1}}+{\frac {x_{2}+1}{x_{2}-1}}}{2}}={\frac {(x_{1}+1)(x_{2}-1)+(x_{1}-1)(x_{2}+1)}{2(x_{1}-1)(x_{2}-1)}}={\frac {x_{1}x_{2}-1}{x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1}}={\frac {{\frac {m+1}{2}}-1}{{\frac {m+1}{2}}-{\frac {m+1}{2}}+1}}={\frac {m+1}{2}}-1={\frac {m-1}{2}}}$

Le point J a donc pour coordonnées :

${\displaystyle \left({\frac {m+1}{4}}\;;\;{\frac {m-1}{2}}\right)}$

Soit x et y, l'abscisse et l'ordonnée de I, on aura :

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {m+1}{4}}\\y={\frac {m-1}{2}}\end{cases}}}$

Pour mieux se rendre compte sur quel type de courbe se trouve J lorsque H et D se coupent , il nous faut éliminer m entre l'expression de x et de y. De la première équation, nous tirons :

${\displaystyle m=4x-1}$

et en portant dans la deuxième équation, nous obtenons :

${\displaystyle y={\frac {4x-1-1}{2}}=2x-1}$

Nous voyons que J parcourt une partie de la droite d'équation y = 2x - 1.

1°

Domaine de définition

Le dénominateur :

${\displaystyle 2x^{2}-5x+2=(2x-1)(x-2)}$

ne doit pas être nul. Par conséquent :

${\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} -\left\{{\frac {1}{2}},\;2\right\}}$

Limites aux bornes du domaine de définition

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{2x^{2}-5x+2}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{2x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{2x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{2x^{2}-5x+2}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x}{2x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{2x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}{\frac {x}{(2x-1)(x-2)}}={\frac {\frac {1}{2}}{0^{+}\times (-{\frac {3}{2}})}}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{-}}f(x)=\lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{-}}{\frac {x}{(2x-1)(x-2)}}={\frac {\frac {1}{2}}{0^{-}\times (-{\frac {3}{2}})}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 2^{+}}f(x)=\lim _{x\to 2^{+}}{\frac {x}{(2x-1)(x-2)}}={\frac {2}{3\times 0^{+}}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 2^{-}}f(x)=\lim _{x\to 2^{-}}{\frac {x}{(2x-1)(x-2)}}={\frac {2}{3\times 0^{-}}}=-\infty }$

Calcul de la dérivée

${\displaystyle f'(x)={\frac {1(2x^{2}-5x+2)-x(4x-5)}{(2x^{2}-5x+2)^{2}}}={\frac {-2x^{2}+2}{(2x^{2}-5x+2)^{2}}}={\frac {-2(x+1)(x-1)}{(2x^{2}-5x+2)^{2}}}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=0}$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{+}}f(x)=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to {\frac {1}{2}}^{-}}f(x)=+\infty }$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty }$

Nous indique que nous avons une asymptote verticale d'équation ${\displaystyle x=2}$

Tracé de la courbe

2°

Une droite parallèle à l'axe des abscisses a pour équation y = m (m étant un paramètre). Les abscisses de M' et M" sont donc les solutions de l'équation :

${\displaystyle {\frac {x}{2x^{2}-5x+2}}=m}$

qui s'écrit après transformation :

${\displaystyle 2mx^{2}-(5m+1)x+2m=0}$

Qui est du second degré et qui a bien deux racines lorsque son discriminant est positif. Soit donc x₁ et x₂ les deux racines qui sont donc les abscisses de M' et M", mais aussi les abscisses de P' et P".

Soit aussi a l'abscisse du point A. On a alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AP'}}\times {\overline {AP''}}&=(x_{1}-a)(x_{2}-a)\\&=x_{1}x_{2}-a(x_{1}+x_{2})+a^{2}\\&={\frac {2m}{2m}}-a{\frac {5m+1}{2m}}+a^{2}\\&={\frac {2m-a(5m+1)+2ma^{2}}{2m}}\\&={\frac {2m-5am+2ma^{2}}{2m}}-{\frac {a}{2m}}\\&={\frac {2-5a+2a^{2}}{2}}-{\frac {a}{2m}}\end{aligned}}}$

La première fraction ne contient plus m. Si l'on veut rendre l'expression obtenue indépendante de m, il suffit de choisir une valeur de a qui annule la deuxième fraction qui contient encore m. Nous voyons qu'il suffit de choisir a = 0, c'est-à-dire A à l'origine du repère, et il nous reste :

${\displaystyle {\overline {AP'}}\times {\overline {AP''}}={\frac {2-5a+2a^{2}}{2}}={\frac {2-5\times 0+2\times 0^{2}}{2}}=1}$

qui est indépendant de m et donc indépendamment de la droite D choisi.

1°

Domaine de définition

Le dénominateur :

${\displaystyle x^{2}+3}$

ne peut pas être nul. Par conséquent :

${\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} }$

Limites aux bornes du domaine de définition

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}+3}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }1=1}$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}+3}}=\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=\lim _{x\to -\infty }1=1}$

Calcul de la dérivée

${\displaystyle f'(x)={\frac {(2x-2)(x^{2}+3)-2x(x^{2}-2x-3)}{(x^{2}+3)^{2}}}={\frac {2x^{3}+6x-2x^{2}-6-2x^{3}+4x^{2}+6x}{(x^{2}+3)^{2}}}={\frac {2x^{2}+12x-6}{(x^{2}+3)^{2}}}={\frac {2(x^{2}+6x-3)}{(x^{2}+3)^{2}}}}$

Les valeurs qui annulent la dérivée sont donc les racines de l'équation :

${\displaystyle x^{2}+6x-3=0}$

on trouve :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=-3-2{\sqrt {3}}\\x_{2}=-3+2{\sqrt {3}}\end{cases}}}$

Le maximum est :

${\displaystyle f(x_{1})=f(-3-2{\sqrt {3}})={\frac {(-3-2{\sqrt {3}})^{2}-2(-3-2{\sqrt {3}})-3}{(-3-2{\sqrt {3}})^{2}+3}}={\frac {9+12{\sqrt {3}}+12+6+4{\sqrt {3}}-3}{9+12{\sqrt {3}}+12+3}}={\frac {24+16{\sqrt {3}}}{24+12{\sqrt {3}}}}={\frac {6+4{\sqrt {3}}}{6+3{\sqrt {3}}}}={\frac {(6+4{\sqrt {3}})(6-3{\sqrt {3}})}{(6+3{\sqrt {3}})(6-3{\sqrt {3}})}}={\frac {36-18{\sqrt {3}}+24{\sqrt {3}}-36}{36-27}}={\frac {6{\sqrt {3}}}{9}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

Par un calcul très similaire, on trouve que le minimum est :

${\displaystyle f(x_{2})=-{\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

Tableau de variations

Études des asymptotes

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=1}$

Nous indique que nous avons une asymptote horizontale d'équation ${\displaystyle y=1}$

Étudions la position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale :

${\displaystyle f(x)-y={\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}+3}}-1={\frac {x^{2}-2x-3-x^{2}-3}{x^{2}+3}}={\frac {-2(x+3)}{x^{2}+3}}}$

Nous voyons que f(x) - y est positif pour x < -3 et négatif pour x > 3. Ce qui signifie que pour les valeurs de x inférieure à -3, la courbe est en dessus de l'asymptote et pour les valeurs de x supérieure à 3 la courbe est en dessous de l'asymptote. Et, bien sûr, la courbe coupe l'asymptote pour x = 3.

Tracé de la courbe

2°

x' et x" sont les racines de l'équation :

${\displaystyle {\frac {x^{2}-2x-3}{x^{2}+3}}=\lambda }$

qui, après transformation, s'écrit :

${\displaystyle (1-\lambda )x^{2}-2x-3(1+\lambda )=0}$

On rappelle que pour une équation ax² + bx + c = 0, la somme des racines est -b/a et le produit des racines est c/a. Par conséquent on a :

${\displaystyle {\begin{cases}x'+x''={\frac {2}{1-\lambda }}\\x'x''=-3{\frac {1+\lambda }{1-\lambda }}\end{cases}}}$

Pour trouver une relation entre x' et x" indépendante de λ, il nous suffit d'éliminer λ entre les deux relations ci-dessus. De la première relation, on tire :

${\displaystyle \lambda =1-{\frac {2}{x'+x''}}}$

En portant dans la deuxième relation, on obtient :

${\displaystyle x'x''=-3{\frac {1+\left(1-{\frac {2}{x'+x''}}\right)}{1-\left(1-{\frac {2}{x'+x''}}\right)}}}$

qui se simplifie en :

${\displaystyle x'x''+3(x'+x'')=3}$

3°

Supposons x' et x" égaux et posons :

${\displaystyle x'=x''=r}$

Alors :

${\displaystyle {\begin{cases}x'+x''={\frac {2}{1-\lambda }}\\x'x''=-3{\frac {1+\lambda }{1-\lambda }}\end{cases}}}$

devient :

${\displaystyle {\begin{cases}r={\frac {1}{1-\lambda }}\\r^{2}=-3{\frac {1+\lambda }{1-\lambda }}\end{cases}}}$

Éliminons cette fois r entre ces deux relations. Nous obtenons :

${\displaystyle \left({\frac {1}{1-\lambda }}\right)^{2}=-3{\frac {1+\lambda }{1-\lambda }}}$

qui donne après simplification :

${\displaystyle 3\lambda ^{2}=4}$

Soit :

${\displaystyle \lambda =\pm {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$

Nous voyons que l'on obtient pour λ deux valeurs possibles : une des valeurs correspond à la valeur du minimum de la courbe et l'autre valeur correspond à la valeur du maximum de la courbe.