Étude de fonctions/Exercices/Fonctions associées

Exercice 1

Soit u une fonction définie sur $[-3;5]$ dont on donne le tableau de variation :

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-3&&0&&2&&5\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~u&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes : $f:x\mapsto u(x+1)-2$ $g:x\mapsto 2-u(x-3)$ $h:x\mapsto |u(x)|$

Solution

Tableau de variation de $f:x\mapsto u(x+1)-2$ :

On applique

t_{-{\vec {i}}}

:

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-4&&-1&&1&&4\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto u(x+1)&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Puis

t_{-2{\vec {j}}}

:

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-4&&-1&&1&&4\\\hline &&&2&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~f&0&&&&-2&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-8\\\hline \end{array}}$

Tableau de variation de $g:x\mapsto 2-u(x-3)$

On applique

t_{3{\vec {i}}}

:

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&4&&&&\\&&\nearrow &&\searrow &&&\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto u(x-3)&2&&&&0&&\\&&&&&&\searrow &\\&&&&&&&-6\\\hline \end{array}}$

Puis

{\rm {S}}_{\rm {(Ox)}}

:

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&&&&&6\\&&&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~x\mapsto -u(x-3)&-2&&&&0&&\\&&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-4&&&&\\\hline \end{array}}$

Puis enfin

t_{2{\vec {j}}}

:

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&0&&3&&5&&8\\\hline &&&&&&&6\\&&&&&&\nearrow &\\{\textrm {Variations~de}}~g&0&&&&2&&\\&&\searrow &&\nearrow &&&\\&&&-2&&&&\\\hline \end{array}}$

Tableau de variation de $h:x\mapsto |u(x)|$ :

On rappelle que :

Pour tout x tel que $u(x)\geq 0,~|u(x)|=u(x)$
Pour tout x tel que $u(x)\leq 0,~|u(x)|=-u(x)$

Toutes les parties du tableau de variations resteront inchangées lorsque les valeurs de u sont positives, et seront « inversées » lorsque les valeurs de u seront négatives.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-3&&0&&2&&5\\\hline &&&4&&&&6\\{\textrm {Variations~de}}~h&&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &\\&2&&&&0&&\\\hline \end{array}}$

Exercice 2

On pose les fonctions ƒ et u, définies sur $\mathbb {R}$ par : $f:x\mapsto -(x-1)^{2}+5$ $u:x\mapsto x^{2}$

On note ${\mathcal {C}}_{f}$ et ${\mathcal {C}}_{u}$ les courbes représentatives de ƒ et u dans un repère orthonormé $({\rm {O}};{\vec {i}},{\vec {j}})$ donné.

1. Pour tout x, écrire ƒ(x) en utilisant u.

2. Donner les transformations qui permettent d'obtenir

{\mathcal {C}}_{f}

à partir de

{\mathcal {C}}_{u}

3. Dresser le tableau de variation de ƒ.

Solution

1. Pour tout x,

f(x)=-u(x-1)+5

2. Pour obtenir

{\mathcal {C}}_{f}

, on trace l'image de

{\mathcal {C}}_{u}

par

t_{\vec {i}}

, puis

{\rm {S}}_{({\rm {Ox}})}

et enfin

t_{5{\vec {j}}}

.

3. On part du tableau de variation de u, bien connu :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&0&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~u&&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&\\\hline \end{array}}$

On applique $t_{\vec {i}}$ :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\{\textrm {Variations~de}}~u&&\searrow &&\nearrow &\\&&&0&&\\\hline \end{array}}$

Puis ${\rm {S}}_{({\rm {Ox}})}$ :

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &&&0&&\\{\textrm {Variations~de}}~u&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\hline \end{array}}$

et enfin $t_{5{\vec {j}}}$ .

${\begin{array}{c|ccccc|}x&-\infty &&1&&+\infty \\\hline &&&5&&\\{\textrm {Variations~de}}~u&&\nearrow &&\searrow &\\&-\infty &&&&-\infty \\\hline \end{array}}$

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