La suite est décroissante (donc < 1). On montre aisément (par récurrence) qu'elle est de plus strictement positive.

On peut donc appliquer le théorème 2 du cours avec ${\displaystyle p=a=1}$, ce qui donne :

${\displaystyle u_{n}\sim {\frac {1}{n}}}$.

La fonction ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {x}{\cos {\frac {1}{x}}}}}$ est bien définie sur ${\displaystyle \left]2/\pi ,+\infty \right[}$ et

${\displaystyle \forall x>{\frac {2}{\pi }}\quad f(x)>x>{\frac {2}{\pi }}}$.

Par conséquent, la suite est bien définie et strictement croissante. De plus, ${\displaystyle f}$ est continue et n'a pas de point fixe dans ${\displaystyle \left]2/\pi ,+\infty \right[}$, donc

${\displaystyle u_{n}\to +\infty }$

et

${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=u_{n}{\frac {1-{\cos {\frac {1}{u_{n}}}}}{\cos {\frac {1}{u_{n}}}}}\sim u_{n}{\frac {\frac {1}{2u_{n}^{2}}}{1}}={\frac {1}{2u_{n}}}}$.

On peut donc appliquer le théorème 1 du cours avec ${\displaystyle p=2}$ et ${\displaystyle a=1/2}$, ce qui donne :

${\displaystyle u_{n}\sim (pan)^{\frac {1}{p}}={\sqrt {n}}}$.

On montre de façon élémentaire que (u_n) est strictement positive et de limite nulle (cf. Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Étude d'une suite récurrente#Exercice 7).

Par conséquent, ${\displaystyle u_{n+1}-u_{n}=\sin u_{n}-u_{n}\sim -{\frac {u_{n}^{3}}{6}}}$.

On est dans les conditions d’application du théorème 2 avec p = 2 et a = 1/6 . On a donc :

${\displaystyle u_{n}\sim \left({\frac {1}{pan}}\right)^{\frac {1}{p}}=\left({\frac {1}{2\times {\frac {1}{6}}\times n}}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{n}}}}$.

${\displaystyle \forall n\geq 2\quad u_{n}>0}$ donc ${\displaystyle 0<u_{n+1}\leq {\frac {1}{n}}}$ donc ${\displaystyle u_{n}\to 0}$ donc ${\displaystyle nu_{n+1}=\exp(-u_{n})\to 1}$ donc ${\displaystyle u_{n}\sim {\frac {1}{n-1}}\sim {\frac {1}{n}}}$.

Remarquons d'abord que ${\displaystyle u_{1}=1/4}$ (donc en fait, à partir du rang 1, la suite ne dépend pas de ${\displaystyle a}$).

Ensuite, la suite est bornée et même : ${\displaystyle \forall n\geq 1\quad 0<nu_{n}<1}$ (par une récurrence facile).

On en déduit que ${\displaystyle \forall n\geq 1\quad nu_{n}={\frac {n(n-1)u_{n-1}+n^{2}}{(n+1)^{2}}}\in \left]{\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}},{\frac {n}{n+1}}\right[}$

donc ${\displaystyle nu_{n}\to 1}$, c.-à-d. ${\displaystyle u_{n}\sim {\frac {1}{n}}}$.