Équation et inéquation/Exercices/Équations produit

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Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations suivantes.

Équations produit

$\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0$ .
$x\left(x-1\right)=0$ .
$\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0$ .
$\left({\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}\right)\left({\frac {3}{2}}x-5x\right)=0$ .
$\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x{\sqrt {2}}-1\right)=0$ .

Solution

$\left(2x+3\right)\left(1-x\right)=0\Leftrightarrow 2x+3=0{\text{ ou }}1-x=0\Leftrightarrow x\in \left\{-{\frac {3}{2}},1\right\}$ .
$x\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}x-1=0\Leftrightarrow x\in \{0,1\}$ .
$\left(5+x\right)\left(5-x\right)=0\Leftrightarrow 5+x=0{\text{ ou }}5-x=0\Leftrightarrow x\in \{-5,5\}$ .
$\left({\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}\right)\left({\frac {3}{2}}x-5x\right)=0\Leftrightarrow {\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{4}}=0{\text{ ou }}{\frac {3}{2}}x-5x=0\Leftrightarrow x\in \left\{{\frac {15}{8}},0\right\}$ .
$\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x{\sqrt {2}}-1\right)=0\Leftrightarrow x-{\sqrt {2}}{\text{ ou }}x{\sqrt {2}}-1=0\Leftrightarrow x\in \left\{{\sqrt {2}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right\}$ .

Équations carrées

(C'est un cas particulier d'« équation produit ».)

$\left(x+{\frac {2}{3}}\right)^{2}=0$ .
$2\left(x-1\right)^{2}=0$ .
$\left({\frac {x}{5}}-2\right)x^{2}=0$ .

Solution

$\left(x+{\frac {2}{3}}\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=-{\frac {2}{3}}$ .
$2\left(x-1\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$ .
$\left({\frac {x}{5}}-2\right)x^{2}=0\Leftrightarrow {\frac {x}{5}}-2{\text{ ou }}x^{2}=0\Leftrightarrow x\in \{10,0\}$ .

Équations à factoriser

(Se ramener à une « équation produit nul ».)

$x^{2}=1$ .
$x\left(x-2\right)=-1$ .
$x\left(x+4\right)=-4$ .
$\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1$ .

Solution

$x^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}-1=0\Leftrightarrow \left(x+1\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\in \{-1,1\}$ .
$x\left(x-2\right)=-1\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=0\Leftrightarrow \left(x-1\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$ .
$x\left(x+4\right)=-4\Leftrightarrow x^{2}+4x+4=0\Leftrightarrow \left(x+2\right)^{2}=0\Leftrightarrow x=-2$ .
$\left(x+1\right)\left(x+3\right)=-1\Leftrightarrow x^{2}+4x+4=0\Leftrightarrow x=-2$ , comme précédemment.

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