Équation et inéquation/Équation produit et équation quotient

Équation produit

Définition

Une équation-produit est une équation qui se présente sous la forme :

f(x)\times g(x)=0

.

Le théorème suivant constitue alors un très puissant outil de résolution :

Théorème

Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul, autrement dit :

f(x)\times g(x)=0

équivaut à

f(x)=0

ou

g(x)=0

.

Pour transformer une équation en équation-produit, il faut d’abord transférer tous les termes d'un seul côté de l'équation, puis factoriser :

Exemples

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les équations :

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Solution

{\begin{aligned}\left(3x+1\right)^{2}+9x^{2}-1&=\left(9x^{2}+2\times 3x\times 1+1\right)+9x^{2}-1\\&=9x^{2}+6x+1+9x^{2}-1\\&=18x^{2}+6x\\&=18x^{2}+6x\\&=6x\left(3x+1\right).\end{aligned}}

6x\left(3x+1\right)=0\Leftrightarrow 6x=0{\text{ ou }}3x+1=0\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}3x=-1\Leftrightarrow x=0{\text{ ou }}x=-{\frac {1}{3}}

.

S=\left\{0,-{\frac {1}{3}}\right\}

.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

Définition

Une équation-quotient est une équation qui se présente sous la forme :

{\frac {f(x)}{g(x)}}=0

.

Les valeurs de $x$ qui annulent la fonction g sont exclues de la résolution : elles ne peuvent pas être solution.

Théorème

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et si son dénominateur est non nul

Autrement dit, une équation-quotient se ramène à la résolution de deux équations :

les solutions de $g(x)=0$ sont exclues ;
les solutions de $f(x)=0$ sont les seules solutions de ${\frac {f(x)}{g(x)}}=0$ , à condition qu’elles n'aient pas été exclues au préalable.

Exemple

Résoudre l'équation ${\frac {2x+3}{x-5}}=0$ .

Solution

On détermine les valeurs interdites : le dénominateur $x-5$ s'annule si $x=5$ .

On résout pour $x\in \mathbb {R} \setminus \{5\}$ :

{\frac {2x+3}{x-5}}=0\Leftrightarrow 2x+3=0\Leftrightarrow 2x=-3\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}

.

Finalement, $S=\{-{\frac {3}{2}}\}$ .

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