Recherchons les trois racines cubiques du nombre :

${\displaystyle w=-35+18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$.

On pose :

${\displaystyle a=-35\qquad b=18{\sqrt {3}}}$.

On a alors :

${\displaystyle c={\sqrt[{3}]{a^{2}+b^{2}}}={\sqrt[{3}]{(-35)^{2}+(18{\sqrt {3}})^{2}}}=13}$.

L'équation :

${\displaystyle 4x^{3}-3cx-a=0}$

s'écrit alors :

${\displaystyle 4x^{3}-39x+35=0}$,

qui se factorise sous la forme (1 est racine évidente) :

${\displaystyle (x-1)(2x-5)(2x+7)=0}$.

Comme on a besoin d'une seule racine, on choisit ${\displaystyle x=1}$.

Ensuite :

${\displaystyle y={\frac {b}{4x^{2}-c}}={\frac {18{\sqrt {3}}}{4\times 1^{2}-13}}=-2{\sqrt {3}}}$.

Les trois racines de ${\displaystyle w}$ sont donc :

${\displaystyle r_{1}=1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle r_{2}=\mathrm {j} (1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}})(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$

${\displaystyle r_{3}=\mathrm {j} ^{2}(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}})(1-2\mathrm {i} {\sqrt {3}})=-{\frac {7}{2}}+{\frac {\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$.

Nous nous retrouvons avec trois racines. Laquelle choisir ?

En l'absence d'indication particulière, nous convenons généralement de choisir la racine qui est conforme à la formule :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{w}}={\sqrt[{3}]{|w|}}\operatorname {e} ^{{\frac {\arg(w)}{3}}\mathrm {i} }}$.

Calculons l'argument de ${\displaystyle w}$ :

${\displaystyle \tan(\arg(w))={\frac {18}{-35}}}$

donc :

${\displaystyle \arg(w)=\arctan {\frac {18}{-35}}+\pi \approx 2{,}6666}$.

La racine qui nous intéresse devra donc avoir un argument d'environ 2,6666/3 = 0,888. Comme 0,8888 < π/2, ce sera un nombre complexe avec parties réelle et imaginaire positives. Seul r₂ convient. On a donc :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-35+18i{\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$.

On trouverait de même que :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-35-18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}-{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}$.

Par conséquent :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-35+18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{-35-18\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {5}{2}}+{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}+{\frac {5}{2}}-{\frac {3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=5}$.

Cherchons une racine cubique de :

${\displaystyle 8+3{\sqrt {21}}}$.

Nous utiliserons la méthode d'extraction des racines cubiques d'un nombre quadratique.

Posons a = 8, b = 3, n = 21.

On a alors :

${\displaystyle c={\sqrt[{3}]{a^{2}-nb^{2}}}={\sqrt[{3}]{8^{2}-21\times 3^{2}}}=-5~}$

L'équation :

${\displaystyle 4x^{3}-3cx-a=0~}$

s'écrit alors :

${\displaystyle 4x^{3}+15x-8=0}$,

qui se factorise sous la forme (1/2 est racine évidente) :

${\displaystyle (2x-1)(2x^{2}+x+8)=0}$.

Comme on a besoin d'une seule racine, on choisit x = 1/2.

Ensuite :

${\displaystyle y={\frac {b}{4x^{2}-c}}={\frac {3}{4\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+5}}={\frac {1}{2}}}$.

Par conséquent :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8+3{\sqrt {21}}}}=x+y{\sqrt {21}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {21}}{2}}}$.

On montrerait de même que :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8-3{\sqrt {21}}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {21}}{2}}}$.

On a alors :

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {8+3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {8-3{\sqrt {21}}}{27}}}+{\frac {2}{3}}={\frac {\sqrt[{3}]{8+3{\sqrt {21}}}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{8-3{\sqrt {21}}}}{3}}+{\frac {2}{3}}={\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {21}}{2}}}{3}}+{\frac {{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {21}}{2}}}{3}}+{\frac {2}{3}}=1}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

avec :

${\displaystyle a=1,\quad b=-5,\quad c=3,\quad d=5}$.

Pour supprimer le monôme de degré 2, nous commençons par faire le changement de variable :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}=z+{\frac {5}{3}}}$.

Nous obtenons :

${\displaystyle (z+{\frac {5}{3}})^{3}-5(z+{\frac {5}{3}})^{2}+3(z+{\frac {5}{3}})+5=0}$.

En développant et en réduisant les termes semblables, on obtient :

${\displaystyle z^{3}-{\frac {16}{3}}z+{\frac {20}{27}}=0}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle z^{3}+px+q=0}$

avec :

${\displaystyle p=-{\frac {16}{3}},\quad q={\frac {20}{27}}}$.

Appliquons simplement les formules du cours :

${\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}}$ ;

${\displaystyle x_{2}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+2\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}}$ ;

${\displaystyle x_{3}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {arccos\left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+4\pi }{3}}\right)-{\frac {b}{3a}}}$.

On trouve :