• Un nombre α est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul dont tous les coefficients sont des nombres rationnels.
• Le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus bas degré admettant α comme racine est appelé polynôme minimal de α.
• Si le polynôme minimal est de degré n, alors α est dit algébrique de degré n.

Le nombre :

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{5}}}$

est algébrique de degré ${\displaystyle 4}$ car il est racine de l'équation du quatrième degré :

${\displaystyle x^{4}-5=0}$,

dont les racines et les produits de deux racines sont irrationnels.

Les nombres :

${\displaystyle \tan {\frac {k\pi }{5}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}-10X^{2}+5}$.

Les nombres :

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {k\pi }{5}}}{\sqrt {3}}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}-{\frac {10}{3}}X^{2}+{\frac {5}{9}}}$.

Les nombres

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {5\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {13\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {17\pi }{24}}}$

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}$.

Si ${\displaystyle x}$ est algébrique de degré ${\displaystyle n>1}$ alors, pour tous rationnels ${\displaystyle a,b,c,d}$ tels que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$,

${\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}}}$ est bien défini, et algébrique de degré ${\displaystyle n}$.

Les nombres

${\displaystyle y_{k}:=\tan {\frac {(5+4k)\pi }{20}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

(c'est-à-dire ${\displaystyle \tan {\frac {9\pi }{20}},\;\tan {\frac {13\pi }{20}},\;\tan {\frac {17\pi }{20}},\;\tan {\frac {\pi }{20}}}$)

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}-4X^{3}-14X^{2}-4X+1}$.

En effet, puisque ${\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(5+4k)\pi }{20}}-{\frac {\pi }{4}}}$ et ${\displaystyle \tan \left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan \theta -1}{1+\tan \theta }}}$, ils sont liés aux quatre nombres ${\displaystyle x_{k}}$ de la propriété 1 par le changement de variable ${\displaystyle x={\frac {y-1}{1+y}}}$, or

${\displaystyle (1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{4}-10\left({\frac {Y-1}{1+Y}}\right)^{2}+5\right]=-4(Y^{4}-4Y^{3}-14Y^{2}-4Y+1)}$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=y_{4}={\frac {1+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}=1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$.

Les nombres

${\displaystyle y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(3k-5)\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

(c'est-à-dire ${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {13\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {4\pi }{15}}}{\sqrt {3}}},\;{\frac {\tan {\frac {7\pi }{15}}}{\sqrt {3}}}}$)

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}-6X^{3}+{\frac {8}{3}}X^{2}+{\frac {2}{3}}X-{\frac {1}{9}}}$.

En effet, puisque ${\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(3k-5)\pi }{15}}+{\frac {\pi }{3}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\tan \left(\theta +{\frac {\pi }{3}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}+1}{1-3{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}}$, ils sont liés aux quatre nombres ${\displaystyle x_{k}}$ de la propriété 2 par le changement de variable ${\displaystyle x={\frac {y+1}{1-3y}}}$, or

${\displaystyle (1-3Y)^{4}\left[\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y+1}{1-3Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=16\left(Y^{4}-6Y^{3}+{\frac {8}{3}}Y^{2}+{\frac {2}{3}}Y-{\frac {1}{9}}\right)}$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}={\sqrt {3}}y_{2}={\sqrt {3}}{\frac {x_{2}-1}{3x_{2}+1}}={\frac {{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1}}={\frac {(3-{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}-{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}}{2}}}$.

De même, les nombres :

${\displaystyle y_{k}:={\frac {\tan {\frac {(6k+5)\pi }{30}}}{\sqrt {3}}}}$ pour ${\displaystyle k\in \{1,2,3,4\}}$

sont algébriques de degré ${\displaystyle 4}$ et de même polynôme minimal :

${\displaystyle X^{4}+2X^{3}-{\frac {8}{3}}X^{2}-2X-{\frac {1}{9}}}$.

En effet, puisque ${\displaystyle {\frac {k\pi }{5}}={\frac {(6k+5)\pi }{30}}-{\frac {\pi }{6}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\tan \left(\theta -{\frac {\pi }{6}}\right)}{\sqrt {3}}}={\frac {{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3}}}{1+{\frac {\tan \theta }{\sqrt {3}}}}}}$, ils sont liés, eux aussi, aux quatre nombres ${\displaystyle x_{k}}$ de la propriété 2, par le changement de variable ${\displaystyle x={\frac {y-{\frac {1}{3}}}{1+y}}}$, or

${\displaystyle (1+Y)^{4}\left[\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{4}-{\frac {10}{3}}\left({\frac {Y-{\frac {1}{3}}}{1+Y}}\right)^{2}+{\frac {5}{9}}\right]=-{\frac {16}{9}}\left(Y^{4}+2Y^{3}-{\frac {8}{3}}Y^{2}-2Y-{\frac {1}{9}}\right)}$.

On peut même préciser leurs valeurs : par exemple,

${\displaystyle -\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan {\frac {29\pi }{30}}={\sqrt {3}}y_{4}={\sqrt {3}}{\frac {{\frac {1}{3}}+x_{4}}{1-x_{4}}}={\frac {1-{\sqrt {3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}}-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}}$.