Si α est racine de l'équation :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

alors :

${\displaystyle a\alpha ^{4}+b\alpha ^{3}+c\alpha ^{2}+d\alpha +e=0}$.

Prenons le conjugué des deux membres :

${\displaystyle {\overline {a\alpha ^{4}+b\alpha ^{3}+c\alpha ^{2}+d\alpha +e}}={\overline {0}}}$.

Compte tenu des propriétés du conjugué, on obtient :

${\displaystyle a{\bar {\alpha }}^{4}+b{\bar {\alpha }}^{3}+c{\bar {\alpha }}^{2}+d{\bar {\alpha }}+e=0}$,

ce qui montre que le conjugué de α est aussi racine de l'équation :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$.

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}$.

En développant, on obtient :

${\displaystyle ax^{4}-a(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})x^{3}+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})x^{2}}$

${\displaystyle -a(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})x+ax_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=0}$.

En identifiant les coefficients de cette dernière équation avec :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$,

on obtient les quatre relations annoncées.

Nous avons :

${\displaystyle p_{0}=X_{1}^{0}+X_{2}^{0}+X_{3}^{0}+X_{4}^{0}=4}$ ;

${\displaystyle p_{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}=\sigma _{1}}$ ;

${\displaystyle p_{2}=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{4}^{2}=(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4})^{2}-2(X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4})=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$ ;

${\displaystyle p_{3}=X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}+X_{4}^{3}=\sigma _{1}^{3}-3\sigma _{1}\sigma _{2}+3\sigma _{3}}$.

Nous allons ensuite établir une relation de récurrence d'ordre 4 pour pouvoir calculer les p_k suivants.

Pour cela, considérons le polynôme ${\displaystyle f}$ (en cinq variables : ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ et ${\displaystyle X}$) ainsi défini :

${\displaystyle f(X)=(X-X_{1})(X-X_{2})(X-X_{3})(X-X_{4})=X^{4}-\sigma _{1}X^{3}+\sigma _{2}X^{2}-\sigma _{3}X+\sigma _{4}}$.

Nous avons alors :

${\displaystyle f(X_{1})=f(X_{2})=f(X_{3})=f(X_{4})=0}$.

Nous en déduisons, pour tout ${\displaystyle k\geq 3}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}^{k+1}-\sigma _{1}X_{1}^{k}+\sigma _{2}X_{1}^{k-1}-\sigma _{3}X_{1}^{k-2}+\sigma _{4}X_{1}^{k-3}&=X_{1}^{k-3}f(X_{1})&=0\\X_{2}^{k+1}-\sigma _{1}X_{2}^{k}+\sigma _{2}X_{2}^{k-1}-\sigma _{3}X_{2}^{k-2}+\sigma _{4}X_{2}^{k-3}&=X_{2}^{k-3}f(X_{2})&=0\\X_{3}^{k+1}-\sigma _{1}X_{3}^{k}+\sigma _{2}X_{3}^{k-1}-\sigma _{3}X_{3}^{k-2}+\sigma _{4}X_{3}^{k-3}&=X_{3}^{k-3}f(X_{3})&=0\\X_{4}^{k+1}-\sigma _{1}X_{4}^{k}+\sigma _{2}X_{4}^{k-1}-\sigma _{3}X_{4}^{k-2}+\sigma _{4}X_{4}^{k-3}&=X_{4}^{k-3}f(X_{4})&=0.\end{cases}}}$

Par addition membre à membre, nous obtenons :

${\displaystyle p_{k+1}-\sigma _{1}p_{k}+\sigma _{2}p_{k-1}-\sigma _{3}p_{k-2}+\sigma _{4}p_{k-3}=0}$

qui est bien une relation de récurrence d'ordre 4.

En résumé, nous retiendrons :

Nous voyons que l’on peut ainsi, par récurrence, exprimer tous les p_k comme des polynômes à coefficients entiers en ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}}$.

Commençons par poser, pour tout quadruplet ${\displaystyle (k,l,m,n)}$ d'entiers tels que ${\displaystyle k\geq l\geq m\geq n\geq 0}$,

${\displaystyle S_{k,l,m,n}=}$ la somme de tous les monômes de la forme ${\displaystyle X_{r}^{k}X_{s}^{l}X_{t}^{m}X_{u}^{n}}$ avec ${\displaystyle \{r,s,t,u\}=\{1,2,3,4\}}$, chaque monôme étant pris une seule fois

(même lorsque certaines des inégalités ${\displaystyle k\geq l\geq m\geq n}$ sont des égalités : par exemple si ${\displaystyle l=k}$, le monôme ${\displaystyle X_{1}^{k}X_{2}^{l}X_{3}^{m}X_{4}^{n}=X_{2}^{k}X_{1}^{l}X_{3}^{m}X_{4}^{n}}$ n'est compté qu'une fois).

Par exemple :

• ${\displaystyle S_{0,0,0,0}=1}$ ;
• si ${\displaystyle k>0}$ :
  • ${\displaystyle S_{k,0,0,0}=p_{k}}$,
  • ${\displaystyle S_{k,k,0,0}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}+X_{1}^{k}X_{3}^{k}+X_{1}^{k}X_{4}^{k}+X_{2}^{k}X_{3}^{k}+X_{2}^{k}X_{4}^{k}+X_{3}^{k}X_{4}^{k}}$,
  • ${\displaystyle S_{k,k,k,0}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{3}^{k}+X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{4}^{k}+X_{1}^{k}X_{3}^{k}X_{4}^{k}+X_{2}^{k}X_{3}^{k}X_{4}^{k}}$,
  • ${\displaystyle S_{k,k,k,k}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{3}^{k}X_{4}^{k}}$,
  • en particulier : ${\displaystyle S_{1,0,0,0}=p_{1}=\sigma _{1}}$, ${\displaystyle S_{1,1,0,0}=\sigma _{2}}$, ${\displaystyle S_{1,1,1,0}=\sigma _{3}}$ et ${\displaystyle S_{1,1,1,1}=\sigma _{4}}$ ;
• si ${\displaystyle k>l>0}$ :
  • ${\displaystyle S_{k,l,0,0}=X_{1}^{k}X_{2}^{l}+X_{2}^{k}X_{1}^{l}+X_{1}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{1}^{l}+X_{1}^{k}X_{4}^{l}+X_{4}^{k}X_{1}^{l}+X_{2}^{k}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{2}^{l}+X_{2}^{k}X_{4}^{l}+X_{4}^{k}X_{2}^{l}+X_{3}^{k}X_{4}^{l}+X_{4}^{k}X_{3}^{l}}$,
  • ${\displaystyle S_{k,k,k,l}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{3}^{k}X_{4}^{l}+X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{3}^{l}X_{4}^{k}+X_{1}^{k}X_{2}^{l}X_{3}^{k}X_{4}^{k}+X_{1}^{l}X_{2}^{k}X_{3}^{k}X_{4}^{k}}$
  • ${\displaystyle S_{k,k,l,l}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}X_{3}^{l}X_{4}^{l}+X_{1}^{k}X_{3}^{k}X_{2}^{l}X_{4}^{l}+X_{1}^{k}X_{4}^{k}X_{2}^{l}X_{3}^{l}+X_{2}^{k}X_{3}^{k}X_{1}^{l}X_{4}^{l}+X_{2}^{k}X_{4}^{k}X_{1}^{l}X_{3}^{l}+X_{3}^{k}X_{4}^{k}X_{1}^{l}X_{2}^{l}}$,
  • ${\displaystyle S_{k,k,l,0}=X_{1}^{k}(X_{2}^{k}X_{3}^{l}+X_{2}^{k}X_{4}^{l}+X_{2}^{l}X_{3}^{k}+X_{3}^{k}X_{4}^{l}+X_{2}^{l}X_{4}^{k}+X_{3}^{l}X_{4}^{k})}$

    ${\displaystyle +X_{1}^{l}(X_{2}^{k}X_{3}^{k}+X_{2}^{k}X_{4}^{k}+X_{3}^{k}X_{4}^{k})+X_{2}^{k}(X_{3}^{k}X_{4}^{l}+X_{3}^{l}X_{4}^{k})+X_{2}^{l}X_{3}^{k}X_{4}^{k}}$ ;

• si ${\displaystyle k>l>m>0}$ :

  ${\displaystyle S_{k,k,l,m}=X_{1}^{k}X_{2}^{k}(X_{3}^{l}X_{4}^{m}+X_{3}^{m}X_{4}^{l})+X_{1}^{k}X_{3}^{k}(X_{2}^{l}X_{4}^{m}+X_{4}^{m}X_{2}^{l})++X_{1}^{k}X_{4}^{k}(X_{2}^{l}X_{3}^{m}+X_{2}^{m}X_{2}^{l})}$

  ${\displaystyle +X_{2}^{k}X_{3}^{k}(X_{1}^{l}X_{4}^{m}+X_{4}^{m}X_{1}^{l})+X_{2}^{k}X_{4}^{k}(X_{1}^{l}X_{3}^{m}+X_{3}^{m}X_{1}^{l})+X_{3}^{k}X_{4}^{k}(X_{1}^{l}X_{2}^{m}+X_{2}^{m}X_{1}^{l})}$.

Tout polynôme symétrique à coefficients entiers s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients entiers des polynômes S_k,l,m,n. Il nous suffit donc de montrer que ces derniers sont des polynômes à coefficients entiers en σ₁, σ₂, σ₃, σ₄.

On procède par induction sur ${\displaystyle (k,l,m,n)}$, les quadruplets d'entiers naturels étant munis de l'ordre lexicographique (qui est un bon ordre).

Soit ${\displaystyle (k,l,m,n)\in \mathbb {N} ^{4}}$ tel que ${\displaystyle k\geq l\geq m\geq n\geq 0}$. En posant

${\displaystyle Q:=\sigma _{1}^{k-l}\sigma _{2}^{l-m}\sigma _{3}^{m-n}\sigma _{4}^{n}}$,

on constate que le polynôme ${\displaystyle S_{k,l,m,n}-Q}$ est une combinaison linéaire (à coefficients entiers) de polynômes ${\displaystyle S_{k',l',m',n'}}$ associés à des quadruplets ${\displaystyle (k',l',m',n')}$ strictement inférieurs à ${\displaystyle (k,l,m,n)}$. Par hypothèse d'induction, ${\displaystyle S_{k,l,m,n}-Q}$ est donc un polynôme à coefficients entiers en σ₁, σ₂, σ₃, σ₄, donc ${\displaystyle S_{k,l,m,n}}$ aussi, ce qui achève la preuve.

Nous admettrons ce théorème dont la démonstration est très fastidieuse (mais pas très compliquée). Nous avons fait une démonstration similaire pour les polynômes du troisième degré et nous avions vu qu'elle était assez courte. Pour le quatrième degré, les calculs sont beaucoup plus longs. Ils sont faits dans la leçon Résultant.

Il suffit de développer le second membre pour constater qu’il est bien égal au discriminant.

Notons x₁, x₂, x₃, x₄ les racines de l'équation :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$.

Nous raisonnerons sur l’expression de Δ suivante :

${\displaystyle \Delta =a^{6}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{1}-x_{4})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{4})^{2}(x_{3}-x_{4})^{2}}$.

Clairement, Δ est nul si et seulement si au moins deux des trois racines sont égales.

Par ailleurs (que les quatre racines soient distinctes ou pas), nous distinguerons trois cas :

Premier cas : les quatre racines sont des nombres réels.

Δ, qui s'écrit :

${\displaystyle \Delta =\left(a^{3}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{1}-x_{4})(x_{2}-x_{3})(x_{2}-x_{4})(x_{3}-x_{4})\right)^{2}}$,

est alors le carré d'un nombre réel. Il est donc positif ou nul.

Deuxième cas : deux des quatre racines sont deux nombres complexes conjugués. Les deux autres sont réelles.

Notons ${\displaystyle t,u}$ les deux racines réelles et ${\displaystyle z=r+\mathrm {i} s,{\overline {z}}=r-\mathrm {i} s}$ les deux autres racines (avec ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }$), et recalculons alors Δ dans ce cas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=a^{6}(z-{\overline {z}})^{2}(z-t)^{2}(z-u)^{2}({\overline {z}}-t)^{2}({\overline {z}}-u)^{2}(t-u)^{2}\\&=\left(a^{3}(z-{\overline {z}})(z-t)(z-u)({\overline {z}}-t)({\overline {z}}-u)(t-u)\right)^{2}\\&=\left(a^{3}(2\mathrm {i} s)(z-t)(z-u){\overline {(z-t)(z-u)}}(t-u)\right)^{2}\\&=-\left(2a^{3}s|(z-t)(z-u)|^{2}(t-u)\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Δ est l'opposé du carré d'un nombre réel. Il est donc négatif ou nul.

Troisième cas : deux des quatre racines sont deux nombres complexes conjugués. Les deux autres sont aussi deux nombres complexes conjugués.

Notons ${\displaystyle z=r+\mathrm {i} s,{\overline {z}}=r-\mathrm {i} s,w=t+\mathrm {i} u,{\overline {w}}=t-\mathrm {i} u}$ ces quatre racines (avec ${\displaystyle r,s,t,u\in \mathbb {R} }$), et recalculons alors Δ dans ce cas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=a^{6}(z-{\overline {z}})^{2}(z-w)^{2}(z-{\overline {w}})^{2}({\overline {z}}-w)^{2}({\overline {z}}-{\overline {w}})^{2}(w-{\overline {w}})^{2}\\&=\left(a^{3}(z-{\overline {z}})(w-{\overline {w}})(z-w)(z-{\overline {w}})({\overline {z}}-{\overline {w}})({\overline {z}}-w)\right)^{2}\\&=\left(a^{3}(2\mathrm {i} s)(2\mathrm {i} u)(z-w)(z-{\overline {w}}){\overline {(z-w)(z-{\overline {w}})}}\right)^{2}\\&=\left(-4a^{3}su|(z-w)(z-{\overline {w}})|^{2}\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Δ est le carré d'un nombre réel. Il est donc positif ou nul.

Comme nous avons distingué tous les cas possibles, nous en déduisons, inversement, les trois points annoncés.

De plus, nous avons redémontré que dans tous les cas, Δ est réel.