Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

avec :

${\displaystyle a=1\qquad b=4\qquad c=2\qquad d=-4\qquad e=-1-{\sqrt {3}}~}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 2+8\times 1^{2}\times (-4)\\&=0\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus

Nous poserons alors :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~}$

Ce qui donne :

${\displaystyle z^{4}-4z^{2}+2-{\sqrt {3}}=0~}$

Nous obtenons alors une équation de la forme :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=0~}$

avec :

${\displaystyle p=-4\qquad r=2-{\sqrt {3}}~}$

Comme p < 0 et 0 < 4r < p², nous ferons le nouveau changement de variable :

${\displaystyle z={\sqrt {-p}}.\cos {\theta }=2\cos {\theta }~}$

Nous obtenons alors l'équation :

${\displaystyle 16\cos ^{4}\theta -16\cos ^{2}\theta +2-{\sqrt {3}}=0~}$

Qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle 8\cos ^{4}\theta -8\cos ^{2}\theta +1={\frac {\sqrt {3}}{2}}~}$

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de cos(4θ) et au second membre le cosinus de π/6, nous obtenons donc :

${\displaystyle \cos(4\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)~}$

Ce qui entraîne :

${\displaystyle {\begin{cases}4\theta ={\frac {\pi }{6}}+2k\pi \\ou\\4\theta =-{\frac {\pi }{6}}+2k\pi \end{cases}}}$

C'est-à-dire :

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ={\frac {\pi }{24}}+{\frac {k\pi }{2}}\\ou\\\theta =-{\frac {\pi }{24}}+{\frac {k\pi }{2}}\end{cases}}}$

En reportant ces valeurs de θ dans la relation :

${\displaystyle z=2\cos {\theta }~}$

On obtient, en utilisant le cercle trigonométrique, les quatre valeurs suivantes pour z :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=2\cos {\frac {\pi }{24}}\\z_{2}=2\cos {\frac {11\pi }{24}}\\z_{3}=2\cos {\frac {13\pi }{24}}\\z_{4}=2\cos {\frac {23\pi }{24}}\end{cases}}}$

En reportant ces dernières valeurs dans la relation :

${\displaystyle x=z-1~}$

Nous voyons que les racines de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-1={\sqrt {3}}~}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\cos {\frac {\pi }{24}}-1\\x_{2}=2\cos {\frac {11\pi }{24}}-1\\x_{3}=2\cos {\frac {13\pi }{24}}-1\\x_{4}=2\cos {\frac {23\pi }{24}}-1\end{cases}}}$

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

avec :

${\displaystyle a=1\qquad b=4\qquad c=2\qquad d=-4\qquad e=-5~}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 2+8\times 1^{2}\times (-4)\\&=0\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus

Nous poserons alors :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~}$

Ce qui donne :

${\displaystyle z^{4}-4z^{2}-2=0~}$

Nous obtenons alors une équation de la forme :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=0~}$

avec :

${\displaystyle p=-4\qquad r=-2~}$

Comme p < 0 et r < 0, nous ferons le nouveau changement de variable :

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {-p}}.\operatorname {ch} {\theta }=\pm 2\operatorname {ch} {\theta }~}$

Nous obtenons alors l'équation :

${\displaystyle 16\operatorname {ch} ^{4}{\theta }-16\operatorname {ch} ^{2}{\theta }-2=0~}$

Qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle 8\operatorname {ch} ^{4}{\theta }-8\operatorname {ch} ^{2}{\theta }+1=2~}$

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de ch(4θ), nous obtenons donc :

${\displaystyle \operatorname {ch} (4\theta )=2~}$

Ce qui entraîne :

${\displaystyle {\begin{cases}4\theta =Argch(2)\\ou\\4\theta =-Argch(2)\end{cases}}}$

C'est-à-dire :

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ={\frac {Argch(2)}{4}}\\ou\\\theta =-{\frac {Argch(2)}{4}}\end{cases}}}$

En reportant ces valeurs de θ dans la relation :

${\displaystyle z=\pm 2\operatorname {ch} {\theta }~}$

On obtient, compte tenu du fait que la fonction ch est paire, les deux valeurs suivantes pour z :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\\z_{2}=-2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\end{cases}}}$

En reportant ces dernières valeurs dans la relation :

${\displaystyle x=z-1~}$

Nous voyons que les racines réelles de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+4x^{3}+2x^{2}-4x-5=0~}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\\x_{2}=-2\operatorname {ch} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\end{cases}}}$

(Il existe deux autres racines qui sont complexes conjuguées. La méthode que l’on a utilisée ne donne que les racines réelles.)

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

avec :

${\displaystyle a=1\qquad b=4\qquad c=10\qquad d=12\qquad e=3~}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{3}-4abc+8a^{2}d&=4^{3}-4\times 1\times 4\times 10+8\times 1^{2}\times 12\\&=0\end{aligned}}}$

Nous pouvons donc appliquer la méthode trigonométrique en sinus et cosinus

Nous poserons alors :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z-1~}$

Ce qui donne :

${\displaystyle z^{4}+4z^{2}-2=0~}$

Nous obtenons alors une équation de la forme :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=0~}$

avec :

${\displaystyle p=4\qquad r=-2~}$

Comme p > 0 et r < 0, nous ferons le nouveau changement de variable :

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {p}}.\operatorname {sh} {\theta }=\pm 2\operatorname {sh} {\theta }~}$

Nous obtenons alors l'équation :

${\displaystyle 16\operatorname {sh} ^{4}{\theta }-16\operatorname {sh} ^{2}{\theta }-2=0~}$

Qui se simplifie sous la forme :

${\displaystyle 8\operatorname {sh} ^{4}{\theta }-8\operatorname {sh} ^{2}{\theta }+1=2~}$

Au premier membre, nous reconnaissons un développement de ch(4θ), nous obtenons donc :

${\displaystyle \operatorname {ch} (4\theta )=2~}$

Ce qui entraîne :

${\displaystyle {\begin{cases}4\theta =Argch(2)\\ou\\4\theta =-Argch(2)\end{cases}}}$

C'est-à-dire :

${\displaystyle {\begin{cases}\theta ={\frac {Argch(2)}{4}}\\ou\\\theta =-{\frac {Argch(2)}{4}}\end{cases}}}$

En reportant ces valeurs de θ dans la relation :

${\displaystyle z=\pm 2\operatorname {sh} {\theta }~}$

On obtient, compte tenu du fait que la fonction sh est impaire, les deux valeurs suivantes pour z :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\\z_{2}=-2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)\end{cases}}}$

En reportant ces dernières valeurs dans la relation :

${\displaystyle x=z-1~}$

Nous voyons que les racines réelles de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+4x^{3}+10x^{2}+12x+3=0~}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\\x_{2}=-2\operatorname {sh} \left({\frac {Argch(2)}{4}}\right)-1\end{cases}}}$

(Il existe deux autres racines qui sont complexes conjuguées. La méthode que l’on a utilisé ne donne que les racines réelles.)

Nous pouvons utiliser la formule :

${\displaystyle \tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}~}$

en posant :

${\displaystyle A={\frac {\pi }{8}}~}$

On obtient :

${\displaystyle 1={\frac {2\tan {\frac {\pi }{8}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\pi }{8}}}}~}$

Par conséquent tan(π/8) est racine de l'équation :

${\displaystyle x^{2}+2x-1=0~}$

On trouve bien :

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\sqrt {2}}-1~}$

L'équation :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{8}}={\frac {({\sqrt {2}}-1)x^{3}+{\sqrt {2}}+1}{(2{\sqrt {2}}-3)x^{2}+12{\sqrt {2}}}}~}$

S'écrit après produit en croix, développement, et transfert des termes dans le premier membre :

${\displaystyle (2{\sqrt {2}}-3)x^{4}-8({\sqrt {2}}-1)x^{3}+12x^{2}{\sqrt {2}}-8{\sqrt {2}}-8=0~}$

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

avec :

${\displaystyle a=(2{\sqrt {2}}-3)\qquad b=-8({\sqrt {2}}-1)\qquad c=12{\sqrt {2}}\qquad d=0\qquad e=-8{\sqrt {2}}-8~}$

Nous constatons alors que :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi &=2c^{3}+27ad^{2}+27b^{2}e-9bcd-72ace\\&=0\end{aligned}}}$

Le sottien étant nul, nous pouvons résoudre l'équation par la méthode trigonométrique en tangente.

Nous poserons alors :

${\displaystyle x=z-{\frac {bc-6ad}{3b^{2}-8ac}}=z+1~}$

Nous obtenons l'équation :

${\displaystyle (2{\sqrt {2}}-3)z^{4}-4z^{3}+6z^{2}+4(2{\sqrt {2}}+3)z-(2{\sqrt {2}}+3)=0~}$

Nous obtenons alors une équation de la forme :

${\displaystyle tz^{4}+rz^{3}+sz^{2}+pz+q=0~}$

avec :

${\displaystyle t=(2{\sqrt {2}}-3),\qquad r=-4,\qquad s=6,\qquad p=4(2{\sqrt {2}}+3),\qquad q=-2{\sqrt {2}}-3}$.

Cette dernière équation vérifie la condition rs - 6tp = 0 qui est la condition essentielle pour pouvoir appliquer la méthode de résolution en tangente.

Nous poserons donc :

${\displaystyle z={\sqrt {-{\frac {p}{r}}}}.\tan(\theta )={\sqrt {-{\frac {4(2{\sqrt {2}}+3)}{-4}}}}.\tan(\theta )=({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )~}$

En remplaçant, on obtient :

${\displaystyle (2{\sqrt {2}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{4}.\tan ^{4}(\theta )-4({\sqrt {2}}+1)^{3}.\tan ^{3}(\theta )+6({\sqrt {2}}+1)^{2}.\tan ^{2}(\theta )+4(2{\sqrt {2}}+3)({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )-(2{\sqrt {2}}+3)=0~}$

En développant, nous obtenons :

${\displaystyle -(2{\sqrt {2}}+3).\tan ^{4}(\theta )-4(5{\sqrt {2}}+7).\tan ^{3}(\theta )+6(2{\sqrt {2}}+3).\tan ^{2}(\theta )+4(5{\sqrt {2}}+7).\tan(\theta )-(2{\sqrt {2}}+3)=0~}$

Que nous pouvons factoriser partiellement sous la forme :

${\displaystyle (5{\sqrt {2}}+7)(4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta ))=(2{\sqrt {2}}+3)(1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta ))~}$

Qui s'écrit :

${\displaystyle {\frac {4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta )}{1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta )}}={\frac {(2{\sqrt {2}}+3)}{(5{\sqrt {2}}+7)}}~}$

Le second membre se simplifie sous la forme :

${\displaystyle {\frac {4\tan(\theta )-4\tan ^{3}(\theta )}{1-6\tan ^{2}(\theta )+\tan ^{4}(\theta )}}={\sqrt {2}}-1~}$

Au premier membre, nous reconnaissons le développement de tan(4θ) et au second membre la tangente de π/8 calculée au début. On obtient donc :

${\displaystyle \tan(4\theta )=\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)~}$

Ce qui nous donne :

${\displaystyle 4\theta ={\frac {\pi }{8}}+k\pi ~}$

(k entier relatif)

On obtient donc :

${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{32}}+{\frac {k\pi }{4}}~}$

En reportant dans :

${\displaystyle z=({\sqrt {2}}+1).\tan(\theta )~}$

Nous voyons, à l'aide du cercle trigonométrique, que z peut prendre les quatre valeurs suivantes :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {\pi }{32}}\right)\\z_{2}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {9\pi }{32}}\right)\\z_{3}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {17\pi }{32}}\right)\\z_{4}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {25\pi }{32}}\right)\end{cases}}}$

Et en reportant dans la relation :

${\displaystyle x=z+1~}$

Nous voyons que les racines de l'équation :

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{8}}={\frac {({\sqrt {2}}-1)x^{3}+{\sqrt {2}}+1}{(2{\sqrt {2}}-3)x^{2}+12{\sqrt {2}}}}~}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {\pi }{32}}\right)+1\\x_{2}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {9\pi }{32}}\right)+1\\x_{3}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {17\pi }{32}}\right)+1\\x_{4}=({\sqrt {2}}+1).\tan \left({\frac {25\pi }{32}}\right)+1\end{cases}}}$