Nous avons vu dans le cours que les nombres :

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {5\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {13\pi }{24}},\qquad \tan {\frac {17\pi }{24}}}$

sont des nombres algébriques de degré 4 dont le polynôme minimal est :

${\displaystyle X^{4}+8X^{3}+2X^{2}-8X+1}$,

et sont respectivement égaux à

${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}},\qquad -2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}},\qquad -2-{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}},\qquad -2+{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$.

Nous avions aussi résolu, dans le cours sur la méthode de Lagrange, l'équation ${\displaystyle 16y^{4}-64y^{3}+8y^{2}+16y+1=0}$, qui équivaut à l'équation

${\displaystyle x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-8x+1=0}$

par le changement de variable ${\displaystyle x=-2y}$, mais résolvons à nouveau cette dernière, directement.

Nous pourrions la considérer comme une équation antisymétrique du quatrième degré, mais compte tenu de la forme des solutions que nous voulons obtenir, nous réutiliserons plutôt la méthode de Lagrange.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

avec :

${\displaystyle a=1,\qquad b=8,\qquad c=2,\qquad d=-8,\qquad e=1}$.

Pour éliminer le monôme de degré 3, posons :

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}=z-{\frac {8}{4\times 1}}=z-2}$.

On obtient :

${\displaystyle z^{4}-22z^{2}+48z-23=0}$.

Nous avons une équation de la forme :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

avec :

${\displaystyle p=-22,\qquad q=48,\qquad r=-23}$.

Nous devons maintenant résoudre l'équation :

${\displaystyle y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0}$,

qui s'écrit, en remplaçant p, q et r par leurs valeurs :

${\displaystyle y^{3}-44y^{2}+576y-2304=0}$.

Une recherche de racines évidentes nous amène à factoriser le premier membre sous la forme :

${\displaystyle (y-8)(y-12)(y-24)=0}$.

Les racines de la résolvante sont donc :

${\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=8\\y_{2}=12\\y_{3}=24.\end{cases}}}$

En remarquant que :

${\displaystyle {\sqrt {8}}{\sqrt {12}}{\sqrt {24}}=48=q}$,

nous modifierons notre choix de racine, en prenant :

${\displaystyle {\begin{cases}{\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}\\{\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}\\{\sqrt {24}}=-2{\sqrt {6}}\end{cases}}}$

pour avoir :

${\displaystyle {\sqrt {8}}{\sqrt {12}}{\sqrt {24}}=-48=-q}$.

Nous en déduisons que les racines de l'équation :

${\displaystyle 16z^{4}-88z^{2}-96z-23=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}={\frac {1}{2}}(2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {6}})\\z_{2}={\frac {1}{2}}(2{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {6}})\\z_{3}={\frac {1}{2}}(-2{\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {6}})\\z_{4}={\frac {1}{2}}(-2{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}}-2{\sqrt {6}}).\end{cases}}}$

En reportant ces valeurs dans la relation :

${\displaystyle x=z-2}$,

nous concluons que les racines de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-8x+1=0}$

sont :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}-2\\x_{2}={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}-2\\x_{3}=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}-2\\x_{4}=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}-2.\end{cases}}}$

Puisque ${\displaystyle x_{4}<x_{1}<x_{2}<x_{3}}$, nous retrouvons bien les valeurs :

${\displaystyle {\begin{cases}\tan {\frac {13\pi }{24}}&=x_{4}&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}-2,\\\tan {\frac {17\pi }{24}}&=x_{1}&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}-2,\\\tan {\frac {\pi }{24}}&=x_{2}&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}-2,\\\tan {\frac {5\pi }{24}}&=x_{3}&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}-2.\end{cases}}}$

Les valeurs qui manquent sont simplement leurs opposées :

${\displaystyle {\begin{cases}\tan {\frac {11\pi }{24}}&=-\tan \left(\pi -{\frac {11\pi }{24}}\right)&=-\tan {\frac {13\pi }{24}}&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}+2,\\\tan {\frac {7\pi }{24}}&=-\tan \left(\pi -{\frac {7\pi }{24}}\right)&=-\tan {\frac {17\pi }{24}}&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {6}}+2,\\\tan {\frac {23\pi }{24}}&=-\tan \left(\pi -{\frac {23\pi }{24}}\right)&=-\tan {\frac {\pi }{24}}&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}+2,\\\tan {\frac {19\pi }{24}}&=-\tan \left(\pi -{\frac {19\pi }{24}}\right)&=-\tan {\frac {5\pi }{24}}&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}-{\sqrt {6}}+2.\end{cases}}}$

Remarque : on a obtenu les ${\displaystyle 2^{3}}$ nombres de la forme ${\displaystyle \pm [1+(1\pm {\sqrt {3}})(1\pm {\sqrt {2}})]}$.