On pourrait développer les deux membres en fonction de ${\displaystyle \alpha }$ et des coefficients de ${\displaystyle P}$ (qui déterminent ceux de ${\displaystyle Q}$) et constater qu'on obtient bien le même résultat. Mais il est bien moins pénible de procéder comme dans l'exercice analogue de la leçon sur l'équation de degré 3 (exercice 1-5) :

Notons ${\displaystyle P(X)=a(X-\beta )(X-\gamma )(X-\delta )}$.

${\displaystyle \Delta _{Q}=a^{6}(\alpha -\beta )^{2}(\alpha -\gamma )^{2}(\alpha -\delta )^{2}(\beta -\gamma )^{2}(\beta -\delta )^{2}(\gamma -\delta )^{2}=a^{4}(\beta -\gamma )^{2}(\beta -\delta )^{2}(\gamma -\delta )^{2}\times (P(\alpha ))^{2}=\Delta _{P}\times (P(\alpha ))^{2}}$.

Pour une généralisation, voir Résultant/Exercices/Discriminant#Exercice 2.

a) Sans perte de généralité (par changement de variable ${\displaystyle Y=X-\alpha }$) supposons que α = 0.

Puisque 0 est racine de P, celui-ci s'écrit :

${\displaystyle P(X)=aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX}$,

d'où

${\displaystyle P'(X)=4aX^{3}+3bX^{2}+2cX+d}$.

0 est racine d'ordre au moins k de P si et seulement si P(X) est multiple de X^k, ce qui équivaut à :

• pour k = 2 : d = 0, c'est-à-dire P'(X) multiple de X ;
• pour k = 3 : d = c = 0, , c'est-à-dire P'(X) multiple de X² ;
• pour k = 4 : d = c = b = 0, , c'est-à-dire P'(X) multiple de X³.

0 (supposé racine de P) est donc racine d'ordre au moins k de P si et seulement s'il est racine d'ordre au moins k – 1 de P'.

b) En utilisant ce qui précède, résolvons l'équation :

${\displaystyle P(x)=0}$,

où

${\displaystyle P(X)=X^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e}$

avec :

${\displaystyle b=-(1+2{\sqrt {2}}),\qquad c=3{\sqrt {2}},\qquad d=-2(3-2{\sqrt {2}}),\qquad e=-2(2-{\sqrt {2}})}$.

${\displaystyle P'(X)=4X^{3}+3bX^{2}+2cX+d}$

${\displaystyle P''(X)=12X^{2}+6bX+2c=6\left(2X^{2}-(1+2{\sqrt {2}})X+{\sqrt {2}}\right)=6\left(2X-1\right)\left(X-{\sqrt {2}}\right)}$.

Les racines de P’’ sont donc ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ et ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. On constate que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est également racine de P'. Par conséquent (exercice 1-3 de la leçon sur l'équation du troisième degré), ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est racine double (au moins) de P'. On constate de plus que ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est racine de P. Par conséquent (question précédente), ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est racine triple (au moins) de P. Pour trouver la quatrième racine, il suffit d'écrire, par exemple, que la somme des racines est égale à ${\displaystyle -b}$. On trouve finalement que les quatre racines de l'équation sont :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=1-{\sqrt {2}}}$.

L'équation :

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

peut s'écrire :

${\displaystyle x^{4}+x^{2}+(p-1)x^{2}+qx+r=0}$.

En posant y = x², l'équation peut s'écrire sous la forme :

${\displaystyle y^{2}+x^{2}+(p-1)y+qx+r=0}$,

qui fait penser à l'équation d'un cercle dont la forme canonique s'écrirait :

${\displaystyle \left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r}$.

Ce sera l'équation d'un cercle si :

${\displaystyle {\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r>0}$,

auquel cas ce cercle aura pour centre le point de coordonnées :

${\displaystyle \left({\frac {1-p}{2}},-{\frac {q}{2}}\right)}$

et pour rayon :

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(p-1)^{2}+q^{2}-4r}}{2}}}$.

Nous voyons que nous sommes ramenés à résoudre le système :

${\displaystyle {\begin{cases}y=x^{2}\\\left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}-r.\end{cases}}}$

Nous pouvons résoudre graphiquement ce système en prenant une feuille de papier millimétré, sur laquelle on tracera soigneusement la parabole d'équation y = x² et le cercle dont le centre et le rayon sont spécifiés ci-dessus. Les racines réelles de l'équation :

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

seront les abscisses des points d'interceptions de l'hyperbole et du cercle.

Remarque 1

Nous avons résolu graphiquement l'équation :

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

mais il ne faut pas oublier qu'en réalité, l'équation à résoudre était :

${\displaystyle aX^{4}+bX^{3}+cX^{2}+dX+e=0}$

et que nous avons posé :

${\displaystyle X=x-{\frac {b}{4a}}}$.

Nous avons trouvé les valeurs de x et il nous faudrait maintenant utiliser cette dernière formule pour trouver les valeurs de X. Toutefois, compte tenu du fait que nous venons d’utiliser une méthode graphique, ce qui sous-entend une certaine imprécision due au tracé, nous pouvons avantageusement remplacer la dernière formule par :

${\displaystyle X=x-{\frac {b}{4a}}-{\frac {f(x-{\frac {b}{4a}})}{f'\left(x-{\frac {b}{4a}}\right)}}}$

en posant :

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}$.

Cette dernière formule présente l'avantage d'améliorer considérablement la précision des racines. Voir à ce propos la méthode de Newton.

Remarque 2

La méthode graphique qui vient d’être établie peut aussi servir à résoudre les équations du troisième degré :

${\displaystyle aX^{3}+bX^{2}+cX+d=0}$.

On commence par poser :

${\displaystyle X=x-{\frac {b}{3a}}}$

pour se ramener à une équation de la forme :

${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$.

En multipliant tous les termes par x, on ajoute la racine x = 0 et l'on obtient :

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx=0}$,

qui est une équation du quatrième degré pouvant s'écrire :

${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$

avec r = 0.

On peut alors procéder comme précédemment en prenant soin, à la fin, d'éliminer la solution x = 0.

Le fait que r = 0 n'est en aucune façon un problème. C'est même un avantage :

• Premièrement, parce que l'équation du cercle s'écrit :
  ${\displaystyle \left(y+{\frac {p-1}{2}}\right)^{2}+\left(x+{\frac {q}{2}}\right)^{2}={\frac {(p-1)^{2}}{4}}+{\frac {q^{2}}{4}}}$
  avec un second membre clairement toujours positif et par conséquent le rayon du cercle est toujours défini.
• Deuxièmement, le tracé du cercle est facilité. En effet, après avoir déterminé le centre, il suffira de faire passer le cercle par l'origine du repère pour que x = 0 soit solution.