Tous calculs faits :

${\displaystyle x^{4}-4x^{3}-10x^{2}+12x-3=(x^{2}-6x+3)(x^{2}+2x-1)}$ ;

${\displaystyle x^{4}-2x^{3}-5x^{2}-22x-35=(x^{2}+x+5)(x^{2}-3x-7)}$ ;

${\displaystyle x^{4}+10x^{3}+19x^{2}-2x-3=(x^{2}+3x+1)(x^{2}+7x-3)}$ ;

${\displaystyle 3x^{4}+16x^{3}-2x^{2}-7x+2=(x^{2}+5x-2)(3x^{2}+x-1)}$ ;

${\displaystyle 10x^{4}+11x^{3}-21x^{2}-13x+5=(2x^{2}+3x-1)(5x^{2}-2x-5)}$.

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle (x^{2}+y)^{2}-\left(2yx^{2}+{\frac {15}{4}}x^{2}+{\frac {5}{4}}x{\sqrt {3}}+{\frac {1}{4}}+y^{2}\right)=0}$.

Le discriminant du polynôme du second degré en x entre parenthèses est :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\left({\frac {5}{4}}{\sqrt {3}}\right)^{2}-4\left(2y+{\frac {15}{4}}\right)\left({\frac {1}{4}}+y^{2}\right)\\&=-8y^{3}-15y^{2}-2y+{\frac {15}{16}}.\end{aligned}}}$

Si l’on veut qu'il soit nul, il nous faut trouver une valeur de y vérifiant l'équation :

${\displaystyle 8y^{3}+15y^{2}+2y-{\frac {15}{16}}=0}$.

Nous voyons que –3/8 est racine évidente. Nous choisirons donc cette valeur pour y.

L'équation que nous devons résoudre s'écrira donc :

${\displaystyle \left(x^{2}-{\frac {3}{8}}\right)^{2}-\left(-{\frac {3}{4}}x^{2}+{\frac {15}{4}}x^{2}+{\frac {5}{4}}x{\sqrt {3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {9}{64}}\right)=0}$

qui se réécrit :

${\displaystyle \left(x^{2}-{\frac {3}{8}}\right)^{2}-\left({\frac {24x+5{\sqrt {3}}}{8{\sqrt {3}}}}\right)^{2}=0}$.

Compte tenu d'une très célèbre identité remarquable, on obtient :

${\displaystyle \left(x^{2}-{\frac {3}{8}}-{\frac {24x+5{\sqrt {3}}}{8{\sqrt {3}}}}\right)\left(x^{2}-{\frac {3}{8}}+{\frac {24x+5{\sqrt {3}}}{8{\sqrt {3}}}}\right)=0}$

soit, en simplifiant :

${\displaystyle \left(x^{2}-x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x^{2}+x{\sqrt {3}}+{\frac {1}{4}}\right)=0}$.

x vérifie donc l'une des deux équations du second degré suivantes :

${\displaystyle x^{2}-x{\sqrt {3}}-1=0}$ ;

${\displaystyle 4x^{2}+4x{\sqrt {3}}+1=0}$.

En résolvant ces deux équations, on trouve finalement :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}{2}}\\x_{1}={\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {7}}}{2}}\\x_{2}={\frac {-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}{2}}\\x_{3}={\frac {-{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}}{2}}.\end{cases}}}$

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle \left(x^{2}-{\frac {1+2{\sqrt {2}}}{2}}x+\lambda \right)^{2}=\left(2\lambda +{\frac {9}{4}}-2{\sqrt {2}}\right)x^{2}+\left(6-4{\sqrt {2}}-(1+2{\sqrt {2}})\lambda \right)x+\lambda ^{2}+4-2{\sqrt {2}}}$.

Le discriminant du membre de droite est :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &=\left(6-4{\sqrt {2}}-(1+2{\sqrt {2}})\lambda \right)^{2}-\left(8\lambda +9-8{\sqrt {2}}\right)\left(\lambda ^{2}+4-2{\sqrt {2}}\right)\\&=-8\lambda ^{3}+12{\sqrt {2}}\lambda ^{2}-12\lambda +2{\sqrt {2}}\\&=\left(-2\lambda +{\sqrt {2}}\right)^{3}.\end{aligned}}}$

La racine (triple) de la résolvante cubique est par conséquent :

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$.

En revenant à nos calculs initiaux, l'équation que l’on devait résoudre s'écrit alors :

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(x^{2}-{\frac {1+2{\sqrt {2}}}{2}}x+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}-\left(\left({\frac {9}{4}}-{\sqrt {2}}\right)x^{2}+\left(4-{\frac {9{\sqrt {2}}}{2}}\right)x+{\frac {9}{2}}-2{\sqrt {2}}\right)\\&=\left(x^{2}-{\frac {1+2{\sqrt {2}}}{2}}x+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{4}}-{\sqrt {2}}\right)\left(x-{\sqrt {2}}\right)^{2}\\&=\left(x^{2}-{\frac {1+2{\sqrt {2}}}{2}}x+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {1-2{\sqrt {2}}}{2}}x+{\frac {4-{\sqrt {2}}}{2}}\right)^{2}\\&=\left(x^{2}-2{\sqrt {2}}x+2\right)\left(x^{2}-x-2+{\sqrt {2}}\right)\\&=\left(x-{\sqrt {2}}\right)^{2}\times \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x-1+{\sqrt {2}}\right)\end{aligned}}}$

et ses solutions sont donc :

${\displaystyle x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\qquad x_{3}=1-{\sqrt {2}}}$.

L'équation peut s'écrire :

${\displaystyle (x^{2}+2x+\lambda )^{2}=(1+2\lambda )x^{2}+(8+4\lambda )x+10+\lambda ^{2}\quad (*)}$.

Le second membre est un carré si et seulement si

${\displaystyle (8+4\lambda )^{2}=4(1+2\lambda )(10+\lambda ^{2})}$,

soit :

${\displaystyle 0=2\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+4\lambda -6=(2\lambda -3)(\lambda ^{2}+2)}$.

En reportant par exemple la valeur ${\displaystyle \lambda ={\frac {3}{2}}}$, ${\displaystyle (*)}$ devient :

${\displaystyle \left(x^{2}+2x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}=\left(2x+{\frac {7}{2}}\right)^{2}}$.

Nous sommes donc ramenés à résoudre les deux équations :

${\displaystyle x^{2}+2x+{\frac {3}{2}}=2x+{\frac {7}{2}}}$ ;

${\displaystyle x^{2}+2x+{\frac {3}{2}}=-2x-{\frac {7}{2}}}$.

Leurs solutions sont :

• pour la première équation : ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}},\quad x_{1}=-{\sqrt {2}}}$ ;
• pour la seconde : ${\displaystyle x_{2}=-2-\mathrm {i} ,\quad x_{3}=-2+\mathrm {i} }$.

Reprenons le début des calculs en remplaçant q par 0.

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=(z^{2}+\lambda )^{2}-[(2\lambda -p)z^{2}+\lambda ^{2}-r]}$

et le crochet est le carré d'un polynôme (constant ou de degré 1) si et seulement si ${\displaystyle 2\lambda -p}$ ou ${\displaystyle \lambda ^{2}-r}$ est nul (on peut remarquer au passage que ceci équivaut à l'équation résolvante du cas ${\displaystyle q\neq 0}$, ${\displaystyle 8\lambda ^{3}-4p\lambda ^{2}-8r\lambda +4pr-q^{2}=0}$, dans laquelle on remplace q par 0).

Les trois racines de cette résolvante sont alors ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {p}{2}}}$ et ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}=}$ les deux racines carrées de ${\displaystyle r}$.

Si l'on choisit ${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {p}{2}}}$, on est obligé d'adapter les formules ainsi :

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=\left(z^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left[{\frac {p^{2}}{4}}-r\right]=\left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-r}}\right)\left(z^{2}+{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-r}}\right)}$,

ce qui conduit à exprimer les solutions sous la forme

${\displaystyle \pm {\sqrt {-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-r}}}}=\pm {\sqrt {\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4r}}}{2}}}}$.

C'est exactement ce qu'on aurait obtenu en résolvant l'équation bicarrée ${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+r=0}$ par la technique usuelle.

Si l'on choisit ${\displaystyle \lambda _{i}={\sqrt {r}}\neq {\frac {p}{2}}}$ (ce qui est toujours possible sauf si ${\displaystyle p=q=r=0}$), tout se passe exactement comme dans le cas ${\displaystyle q\neq 0}$ du cours et l'on obtient donc les quatre solutions sous la forme :

${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2{\sqrt {r}}-p}}\pm {\sqrt {-2{\sqrt {r}}-p}}\right)=\pm \left({\sqrt {{\frac {\sqrt {r}}{2}}-{\frac {p}{4}}}}\pm {\sqrt {-{\frac {\sqrt {r}}{2}}-{\frac {p}{4}}}}\right)}$,

ce qui est bien équivalent à la forme précédente puisque ${\displaystyle \left({\sqrt {{\frac {\sqrt {r}}{2}}-{\frac {p}{4}}}}\pm {\sqrt {-{\frac {\sqrt {r}}{2}}-{\frac {p}{4}}}}\right)^{2}={\frac {-p\pm {\sqrt {p^{2}-4r}}}{2}}}$.